Determine se as funções vetoriais abaixo são contínuas nos pontos indicados:
f(t)=craizt+2-raiz2t i+t j, t neq 0 raiz2 j, t=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função vetorial vec f(t), definida por partes, é contínua em t=0. O conteúdo envolvido é continuidade de função vetorial, que se checa componte a componente: a função é contínua em um ponto se o limite, quando tto 0, de cada componente coincide com o valor atribuído a essa componente em t=0.

Passo 2

A componente x de vec f(t) para tneq0 é raizt+2-raiz2t. Vamos calcular o limite racionalizando o numerador:
limtto0raizt+2-raiz2t =limtto0(raizt+2-raiz2)(raizt+2+raiz2)t, (raizt+2+raiz2) =limtto0tt,(raizt+2+raiz2) =12raiz2

Passo 3

A componente y de vec f(t) para tneq0 é t. O limite é
limtto0t = 0

Passo 4

O valor de vec f(0) dado no enunciado é raiz2, j, ou seja, as componentes em t=0 são 0 em i e raiz2 em j. Como
limtto0x(t)=tfrac12raiz2neq0 e limtto0y(t)=0neqraiz2,
os limites das componentes não coincidem com os valores de vec f(0). Portanto a função não é contínua em t=0.

Resposta

A função não é contínua em t=0.

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