Determine se as funções vetoriais abaixo são contínuas nos pontos indicados:
em
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função vetorial
e pede para saber se ela é contínua em
. O conteúdo aqui é continuidade de funções vetoriais e vamos precisar da definição de continuidade e do fato de que seno, cosseno e constantes são funções contínuas.
Passo 2
Uma função vetorial
é contínua em
se e somente se
. Isso equivale a exigir que cada componente
seja contínua em
.
Passo 3
Vamos calcular o valor de
em
. Temos
Passo 4
Agora calculamos o limite quando
:
$$\lim_{t\to0}\vec f(t)=\lim_{t\to0}(\sin t,\vec i - \cos t,\vec j + \vec k)
=0,\vec i -1,\vec j + \vec k = -\vec j + \vec k.$$
Passo 5
Como o limite
é igual ao valor
, concluímos que a função vetorial é contínua em
.
Resposta
Sim,
é contínua em
.