Determine se as funções vetoriais abaixo são contínuas nos pontos indicados:
f(t)=sen t i-cos t j+k em t=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial vec f(t)=sin t,vec i - cos t,vec j + vec k e pede para saber se ela é contínua em t=0. O conteúdo aqui é continuidade de funções vetoriais e vamos precisar da definição de continuidade e do fato de que seno, cosseno e constantes são funções contínuas.

Passo 2

Uma função vetorial vec f(t)=(f1(t),f2(t),f3(t)) é contínua em t0 se e somente se limtto t0vec f(t)=vec f(t0). Isso equivale a exigir que cada componente fi(t) seja contínua em t0.

Passo 3

Vamos calcular o valor de vec f em t=0. Temos
vec f(0)=sin0,vec i - cos0,vec j + vec k = 0,vec i -1,vec j + vec k = -vec j + vec k

Passo 4

Agora calculamos o limite quando tto0:
$$\lim_{t\to0}\vec f(t)=\lim_{t\to0}(\sin t,\vec i - \cos t,\vec j + \vec k)
=0,\vec i -1,\vec j + \vec k = -\vec j + \vec k.$$

Passo 5

Como o limite limtto0vec f(t) é igual ao valor vec f(0), concluímos que a função vetorial é contínua em t=0.

Resposta

Sim, vec f é contínua em t=0.

Exercícios relacionados