Determine qual ou quais das funções z_{1}(x)=x^{2}, z_{2}(x)=x^{3} e z_{3}(x)=e^{-x} é (são) solução(ões) da equação (x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das funções \,z_{1}(x)=x^{2}, \,z_{2}(x)=x^{3} e \,z_{3}(x)=e^{-x} satisfazem a equação diferencial
(x+3)\,y''+(x+2)\,y'-y=0.
Aqui vamos usar o método de substituição: para cada z_i calculamos z_i' e z_i'', substituímos na equação e verificamos se o resultado é identicamente zero.

Passo 2

Verificação de z_{1}(x)=x^{2}:
Calculamos as derivadas:
z_{1}'(x)=2x, \quad z_{1}''(x)=2.
Substituindo em (x+3)z_1''+(x+2)z_1'-z_1:
L[z_{1}]= (x+3)\cdot 2 + (x+2)\cdot(2x) - x^{2} =2x+6 +2x^2+4x - x^2 =x^2+6x+6.
Como x^2+6x+6\neq 0 para todo x, z_{1} não é solução.

Passo 3

Verificação de z_{2}(x)=x^{3}:
Calculamos as derivadas:
z_{2}'(x)=3x^2, \quad z_{2}''(x)=6x.
Substituindo:
L[z_{2}]= (x+3)\cdot(6x) + (x+2)\cdot(3x^2) - x^3 =6x^2+18x +3x^3+6x^2 - x^3 =2x^3+12x^2+18x =2x(x+3)^2.
Esse resultado não é identicamente zero, logo z_{2} não é solução.

Passo 4

Verificação de z_{3}(x)=e^{-x}:
Calculamos as derivadas:
z_{3}'(x)=-e^{-x}, \quad z_{3}''(x)=e^{-x}.
Substituindo:
L[z_{3}]= (x+3)e^{-x} + (x+2)(-e^{-x}) - e^{-x} =e^{-x}\bigl(x+3 - (x+2) -1\bigr) =e^{-x}\cdot 0 =0.
Como o resultado é identicamente zero, z_{3} é solução da equação.

Resposta

A única função que satisfaz a equação é z_{3}(x)=e^{-x}.

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