Considere uma série de potências \sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n}.
(a) Explique as três possibilidades para o conjunto de valores de x para os quais uma série de potências converge.
(b) Se o raio de convergência de uma série de potências é R=3 e ela é centrada em a=1, quais são os possíveis intervalos de convergência?

Passo 1

O enunciado nos dá uma série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n}
e pede em (a) as três possibilidades para o conjunto de x em que a série converge (i.e., em termos do raio de convergência R), e em (b) para R=3 e a=1 quais são os possíveis intervalos de convergência.

Passo 2

Definimos o raio de convergência R pela fórmula de Cauchy–Hadamard ou pelo critério da raiz/razão, de modo que:
  • Se R=0, a série só converge em \{x=a\}.
  • Se R=\infty, a série converge para todo x\in\mathbb{R}.
  • Se 0<R<\infty, ela converge para \lvert x-a\rvert<R e diverge para \lvert x-a\rvert>R; nos pontos \lvert x-a\rvert=R (os extremos do intervalo (a-R,a+R)) a convergência deve ser testada caso a caso.

Passo 3

Caso R=0:
\text{Convergência apenas em }x=a,ê
pois para x\neq a temos \lvert x-a\rvert>0 e o termo geral não tende a zero, logo diverge.

Passo 4

Caso R=\infty:
\text{Converge para todo }x\in\mathbb{R},
pois \lvert x-a\rvert<R vale para qualquer x quando R=\infty.

Passo 5

Caso 0<R<\infty:
\text{Converge se }\lvert x-a\rvert<R,\quad \text{diverge se }\lvert x-a\rvert>R.
Nos pontos x=a\pm R deve-se analisar cada série de potências especial (por exemplo, usando o critério de Leibniz ou de Dirichlet) para ver se ela converge ou diverge.

Passo 6

Agora em (b) temos R=3 e a=1. O intervalo aberto de convergência é
(1-3,\;1+3)=(-2,4).

Passo 7

Nos extremos x=-2 e x=4 a convergência pode ou não ocorrer. Assim, além de (-2,4), as quatro possibilidades de intervalo (aberto/fechado em cada lado) são:
[-2,4],\quad[-2,4),\quad(-2,4],\quad(-2,4).

Resposta

(a) As três possibilidades são: \;(i) R=0: converge só em x=a. \;(ii) R=\infty: converge para todo x\in\mathbb{R}. \;(iii) 0<R<\infty: converge se \lvert x-a\rvert<R, diverge se \lvert x-a\rvert>R, e nos pontos \lvert x-a\rvert=R a convergência depende de caso a caso.
(b) Com R=3 e a=1 o intervalo aberto de convergência é (-2,4). Os possíveis intervalos, incluindo ou não cada extremo, são
(-2,4),\quad[-2,4),\quad(-2,4],\quad[-2,4].

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