Considere uma série de potências
.
(a) Explique as três possibilidades para o conjunto de valores de
para os quais uma série de potências converge.
(b) Se o raio de convergência de uma série de potências é
e ela é centrada em
, quais são os possíveis intervalos de convergência?
(a) Explique as três possibilidades para o conjunto de valores de
(b) Se o raio de convergência de uma série de potências é
Passo 1
O enunciado nos dá uma série de potências
e pede em (a) as três possibilidades para o conjunto de
em que a série converge (i.e., em termos do raio de convergência
), e em (b) para
e
quais são os possíveis intervalos de convergência.
Passo 2
Definimos o raio de convergência
pela fórmula de Cauchy–Hadamard ou pelo critério da raiz/razão, de modo que:
- Se
, a série só converge em . - Se
, a série converge para todo . - Se
, ela converge para e diverge para ; nos pontos (os extremos do intervalo ) a convergência deve ser testada caso a caso.
Passo 3
Caso
:
pois para
temos
e o termo geral não tende a zero, logo diverge.
Passo 4
Caso
:
pois
vale para qualquer
quando
.
Passo 5
Caso
:
Nos pontos
deve-se analisar cada série de potências especial (por exemplo, usando o critério de Leibniz ou de Dirichlet) para ver se ela converge ou diverge.
Passo 6
Agora em (b) temos
e
. O intervalo aberto de convergência é
Passo 7
Nos extremos
e
a convergência pode ou não ocorrer. Assim, além de
, as quatro possibilidades de intervalo (aberto/fechado em cada lado) são:
Resposta
(a) As três possibilidades são:
: converge só em
.
: converge para todo
.
: converge se
, diverge se
, e nos pontos
a convergência depende de caso a caso.
(b) Com
e
o intervalo aberto de convergência é
. Os possíveis intervalos, incluindo ou não cada extremo, são