1. a) Determine qual ou quais funções z_{1}(x)=x^{2}, z_{2}(x)=x^{3} e z_{3}(x)=e^{-x} são soluções da equação
(x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0
b) Seja y_{1}(x) uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução y_{2}(x) de forma que y_{1}(x) e y_{2}(x) sejam soluções fundamentais da equação.
c) Determine a solução geral da EDO
(x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0
e obtenha a solução do PVI
\left\{\begin{array}{l} (x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0 \\\ y(1)=1, y^{\prime}(1)=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de segunda ordem
(x+3)y''+(x+2)y'-y=0
e pede:
a) testar se z_1(x)=x^2, z_2(x)=x^3 ou z_3(x)=e^{-x} são soluções;
b) a partir de uma solução y_1, obter outra y_2 independente (solução fundamental);
c) escrever a solução geral e aplicar as condições y(1)=1, y'(1)=3.
O conteúdo é equação linear com coeficientes variáveis e vamos usar teste direto e redução de ordem.

Passo 2

Para cada candidato z(x) calculo z', z'' e avalio
L[z]:=(x+3)z''+(x+2)z'-z.
Para z_1(x)=x^2 temos
z_1'=2x,\quad z_1''=2,
L[z_1]=(x+3)\,2+(x+2)\,2x - x^2 =2x+6+2x^2+4x - x^2 = x^2+6x+6\neq0
para todo x. Logo, z_1 não é solução.

Passo 3

Para z_2(x)=x^3 temos
z_2'=3x^2,\quad z_2''=6x,
L[z_2]=(x+3)\,6x+(x+2)\,3x^2 - x^3 =6x^2+18x+3x^3+6x^2 - x^3 =2x^3+12x^2+18x\neq0
para todo x. Assim, z_2 também não é solução.

Passo 4

Para z_3(x)=e^{-x} temos
z_3'=-e^{-x},\quad z_3''=e^{-x},
L[z_3]=(x+3)e^{-x}+(x+2)(-e^{-x}) - e^{-x} =\bigl(x+3 -x -2 -1\bigr)e^{-x}=0.
Portanto, z_3(x)=e^{-x} é solução.

Passo 5

Como uma solução fundamental é y_1(x)=e^{-x}, usamos redução de ordem. Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
y'' + \frac{x+2}{x+3}y' - \frac{1}{x+3}y = 0,
onde
P(x)=\frac{x+2}{x+3}.
A fórmula de redução de ordem diz
y_2(x) = y_1(x)\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_1(x)^2}\,dx.
Calculamos
\int P(x)\,dx = \int\Bigl(1-\frac1{x+3}\Bigr)dx = x - \ln|x+3|,
e^{-\int P} = e^{-x}e^{\ln|x+3|}=(x+3)e^{-x},
y_2(x)=e^{-x}\int \frac{(x+3)e^{-x}}{e^{-2x}}\,dx = e^{-x}\int (x+3)e^x\,dx.
Para a integral por partes ou identificação,
\int (x+3)e^x\,dx = e^x(x+2),
logo
y_2(x)=e^{-x}\,e^x(x+2)=x+2.

Passo 6

As duas soluções fundamentais são
y_1(x)=e^{-x},\quad y_2(x)=x+2.
A solução geral é
y(x)=C_1e^{-x}+C_2(x+2).

Passo 7

Aplicando as condições y(1)=1 e y'(1)=3:
y(1)=C_1e^{-1}+C_2\cdot3=1,
y'(x)=-C_1e^{-x}+C_2,\quad y'(1)=-C_1e^{-1}+C_2=3.
Somando as duas equações:
3C_2 +C_2 =4 \implies C_2=1,
de onde
-C_1e^{-1}+1=3\implies C_1=-2e.
Portanto a solução do PVI é
y(x)=-2e\,e^{-x}+(x+2)=x+2-2e^{\,1-x}.

Resposta

a) Apenas z_3(x)=e^{-x} é solução.
b) Uma segunda solução é y_2(x)=x+2, ficando \{e^{-x},\,x+2\} base fundamental.
c) A solução geral é
y(x)=C_1e^{-x}+C_2(x+2),
e a solução do PVI é
y(x)=x+2-2e^{\,1-x}.

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