1. Mostre que a solução do problema y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=0, y(0)=a, y^{\prime}(0)=b tende para uma constante quando t \rightarrow+\infty. Determine esta constante.

Passo 1

Beleza, o enunciado nos pede para resolver a EDO linear com coeficientes constantes
y'' + 2y' = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=a e y'(0)=b. O conteúdo envolve usar a equação característica para encontrar a solução geral.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 + 2r = 0
cuja fatoração dá r(r+2)=0, logo as raízes são r=0 e r=-2. Assim a solução geral é
y(t) = C_1 e^{0\cdot t} + C_2 e^{-2t} = C_1 + C_2 e^{-2t}.

Passo 3

Para ajustar as constantes usamos as condições iniciais. Primeiro calculemos a derivada:
y'(t) = -2C_2 e^{-2t}.
Em t=0 temos
y(0)=C_1 + C_2 = a, \qquad y'(0) = -2C_2 = b.
Da segunda equação sai C_2 = -\tfrac{b}{2} e, então, C_1 = a - C_2 = a + \tfrac{b}{2}. Substituindo,
y(t) = a + \tfrac{b}{2} \;-\;\tfrac{b}{2}\,e^{-2t}.

Passo 4

Quando t \to +\infty, a parte exponencial se anula: e^{-2t}\to0. Logo
\lim_{t\to+\infty}y(t) = a + \tfrac{b}{2}.

Resposta

\lim_{t\to+\infty}y(t) = a + \frac{b}{2}.

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