a) Determine qual ou quais das funções e são soluções da equação
b) Seja uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução de forma que e sejam soluções fundamentais da equação.
c) Determine a solução geral da equação
e obtenha a solução do PVI
Passo 1
O enunciado pede para a equação
(a) testar as funções , e ;
(b) a partir de uma solução achar uma segunda solução de modo a formar um par fundamental;
(c) escrever a solução geral e depois resolver o problema de valor inicial
Usaremos: substituição direta para (a), redução de ordem para (b), e então combinação linear e ajuste de constantes para (c).
Passo 2
Calcular para cada as derivadas e verificar se satisfazem a equação.
Para :
Substituindo em :
logo não é solução.
Para :
Substituindo:
logo não é solução.
Para :
Substituindo:
logo é solução.
Passo 3
Escolhemos . Para achar usamos redução de ordem. Primeiro escrevemos a ODE na forma padrão
dividindo por :
logo
A fórmula de redução de ordem dá
Calculamos
então
Logo o integrando é
e
Portanto
Passo 4
A solução geral é combinação linear das duas soluções fundamentais:
Passo 5
Impondo as condições
Chamando , o sistema é
Somando , e então . Logo a solução do PVI é
Resposta
a) Apenas z3(x)=e^-x é solução.
b) Uma segunda solução fundamental é y2(x)=x+2.
c) A solução geral é