a) Determine qual ou quais das funções z1(x)=x^2 ; z2(x)= x^3 e z3(x)=e^-x são soluções da equação (x+3) y^prime prime+(x+2) y^prime-y=0(0,5)
b) Seja y1(x) uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução y2(x) de forma que y1(x) e y2(x) sejam soluções fundamentais da equação. (1,0)
c) Determine a solução geral da equação
(x+3) y^prime prime+(x+2) y^prime-y=0
e obtenha a solução do PVI
c (x+3) y^prime prime+(x+2) y^prime-y=0 y(1)=1, y^prime(1)=3

Passo 1

O enunciado pede para a equação
(x+3),y''+(x+2),y'-y=0
(a) testar as funções z1(x)=x^2, z2(x)=x^3 e z3(x)=e^-x;
(b) a partir de uma solução y1(x) achar uma segunda solução y2(x) de modo a formar um par fundamental;
(c) escrever a solução geral e depois resolver o problema de valor inicial
(x+3),y''+(x+2),y'-y=0, y(1)=1,;y'(1)=3
Usaremos: substituição direta para (a), redução de ordem para (b), e então combinação linear e ajuste de constantes para (c).

Passo 2

Calcular para cada z as derivadas e verificar se satisfazem a equação.
  1. Para z1(x)=x^2:
    z1'=2x, z1''=2
    Substituindo em (x+3)z''+(x+2)z'-z:
    (x+3)cdot2+(x+2)cdot2x - x^2 =2x+6+2x^2+4x - x^2 =x^2+6x+6neq0,
    logo x^2 não é solução.
  2. Para z2(x)=x^3:
    z2'=3x^2, z2''=6x
    Substituindo:
    (x+3)cdot6x+(x+2)cdot3x^2-x^3 =6x^2+18x+3x^3+6x^2-x^3 =2x^3+12x^2+18x =2x(x+3)^2neq0 (forall x),
    logo x^3 não é solução.
  3. Para z3(x)=e^-x:
    z3'=-e^-x, z3''=e^-x
    Substituindo:
    (x+3)e^-x+(x+2)(-e^-x)-e^-x =l[x+3-(x+2)-1r]e^-x=0,
    logo e^-x é solução.

Passo 3

Escolhemos y1(x)=e^-x. Para achar y2 usamos redução de ordem. Primeiro escrevemos a ODE na forma padrão
y''+P(x),y'+Q(x),y=0,
dividindo por x+3:
y''+x+2x+3,y'-1x+3,y=0,
logo
P(x)=x+2x+3
A fórmula de redução de ordem dá
y2(x)=y1(x)integral expl(-integral P(x),dxr)y1(x)^2;dx
Calculamos
integral P(x),dx =integralx+2x+3,dx =integrall(1-1x+3r)dx =x-ln|x+3|,
então
expl(-!integral P,dxr) =expl(-x+ln|x+3|r) =(x+3)e^-x
Logo o integrando é
(x+3)e^-x(e^-x)^2 =(x+3)e^x,
e
integral(x+3)e^xdx =e^x(x+2)
Portanto
y2(x) =e^-xcdot e^x(x+2) =x+2

Passo 4

A solução geral é combinação linear das duas soluções fundamentais:
y(x)=C1e^-x+C2(x+2)

Passo 5

Impondo as condições
Chamando , o sistema é
Somando , e então . Logo a solução do PVI é

Resposta

a) Apenas z3(x)=e^-x é solução.
b) Uma segunda solução fundamental é y2(x)=x+2.
c) A solução geral é
y(x)=C1e^-x+C2(x+2),
e a solução do PVI é
y(x)=-2e,e^-x+(x+2)

Exercícios relacionados