A lei do resfriamento de Newton diz que a temperatura de um objeto muda a uma taxa proporcional à diferença entre sua temperatura e a do ambiente que o rodeia. Suponha que a temperatừra de uma xícara de café obedece à lei do resfriamento de Newton. Se o café estava a uma temperatura de 200^circ F (cerca de 93^circ C)^5 ao ser colocado na xícara e, 1 minuto depois, esfriou para 190^circ F em uma sala a 70^circ F, determine quando o café atinge a temperatura de 150^circ F.
A transferência de calor de um corpo para o ambiente que o rodeia por radição, segundo a lei de Stefan-Boltzmann ^6, é descrita pela equação diferencial
d ud t=-alpha(u^4-T^4)
onde u(t) é a temperatura absoluta do corpo no instante t, T é a temperatura absoluta do ambiente e alpha é uma constante que depende dos parâmetros físicos corpo. No entanto, se u é muito maior do que T, então as soluções da Eq. (i) podem ser bem aproximadas pelas soluções da equação mais simples
d ud t=-alpha u^4
Suponha que um corpo com temperatura inicial de 2000^circ K está imerso em um meio à temperatura de 300^circ K e que alpha=2,0 times 10^-12 ^circ K^-3 / s.
(a) Determine a temperatura do corpo em qualquer instante resolvendo a Eq. (ii).
(b) Faça o gráfico de u em função de t.
(c) Encontre o instante tau no qual u(tau)=600, isto é, o dobro da temperatura ambiente. Até esse instante, o erro na utilização da Eq. (ii) para aproximar as soluções da Eq. (i) não é maior do que 1 %.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na primeira, usa-se a lei de Newton para o resfriamento de uma xícara de café:
dudt=-kl(u(t)-Trm ambr),
com u(0)=200^circF, Trm amb=70^circF e u(1)=190^circF. Pede-se o instante em que u(t)=150^circF.
Na segunda parte, trata-se da equação aproximada da lei de Stefan-Boltzmann para resfriamento por radiação,
dudt=-alpha,u^4,
com u(0)=2000,K, T=300,K (cujas soluções são aproximadas ignorando T), e alpha=2,0times10^-12,K^-3!/s. Pede-se:
(a) achar u(t);
(b) esboçar o gráfico de u vs.\ t;
(c) encontrar tau tal que u(tau)=600,K.

Passo 2

Resolvendo a lei de Newton, separa-se e integra
duu-70=-k,dt Longrightarrow lnl|u-70r|=-k,t+C
Em t=0, u(0)=200 C=ln(130), logo
lnl(u(t)-70r)=ln(130)-k,t ;Longrightarrow; u(t)=70+130,e^-k,t

Passo 3

Usamos u(1)=190 para achar k:
190=70+130,e^-k ;Longrightarrow; 120=130,e^-k ;Longrightarrow; e^-k=1213 ;Longrightarrow; k=-ln!l(tfrac1213r)

Passo 4

Para u(t)=150 resolvemos
150=70+130,e^-k,t ;Longrightarrow; 80=130,e^-k,t ;Longrightarrow; e^-k,t=813 ;Longrightarrow; t=ln(8/13)-ln(12/13) approx6,07 min

Passo 5

Agora a equação tfracdudt=-alpha,u^4 é separável:
integral u^-4,du=-alphaintegral dt ;Longrightarrow; -tfrac13,u^-3=-alpha,t+C
Em t=0, u(0)=u0=2000 C=tfrac13u0^-3. Rearranjando:
u^-3(t)=u0^-3+3,alpha,t Longrightarrow u(t)=l(u0^-3+3alpha tr)^-1/3

Passo 6

O gráfico de u(t) é uma curva decrescente suave que parte de u(0)=2000,K e decai assintoticamente. Num esboço, plota-se u no eixo vertical, t no horizontal, com queda rápida inicial que vai se tornando mais lenta.

Passo 7

Para achar tau tal que u(tau)=600 resolvemos
600^-3=2000^-3+3alpha,tau ;Longrightarrow; 3alpha,tau=1600^3-12000^3
Substituindo valores numéricos:
1600^3approx4,6296times10^-9, 12000^3=1,25times10^-10,
3alpha,tauapprox4,5046times10^-9, alpha=2,0times10^-12 ;Longrightarrow; tauapprox4,5046times10^-96,0times10^-12 approx750,8 sapprox12,5 min

Resposta

A xícara atinge 150^circF em aproximadamente 6,07 minutos.
(a) A solução da Eq.,(ii) é
u(t)=l(u0^-3+3alpha,tr)^-1/3
(b) O gráfico é uma curva decrescente rápida no início e que tomba suavemente.
(c) O instante em que u(tau)=600,K é tauapprox750,8,s (cerca de 12,5,min).

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