A lei do resfriamento de Newton diz que a temperatura de um objeto muda a uma taxa proporcional à diferença entre sua temperatura e a do ambiente que o rodeia. Suponha que a temperatừra de uma xícara de café obedece à lei do resfriamento de Newton. Se o café estava a uma temperatura de (cerca de ao ser colocado na xícara e, 1 minuto depois, esfriou para em uma sala a , determine quando o café atinge a temperatura de .
A transferência de calor de um corpo para o ambiente que o rodeia por radição, segundo a lei de Stefan-Boltzmann , é descrita pela equação diferencial
onde é a temperatura absoluta do corpo no instante é a temperatura absoluta do ambiente e é uma constante que depende dos parâmetros físicos corpo. No entanto, se é muito maior do que , então as soluções da Eq. (i) podem ser bem aproximadas pelas soluções da equação mais simples
Suponha que um corpo com temperatura inicial de está imerso em um meio à temperatura de e que .
(a) Determine a temperatura do corpo em qualquer instante resolvendo a Eq. (ii).
(b) Faça o gráfico de em função de .
(c) Encontre o instante no qual , isto é, o dobro da temperatura ambiente. Até esse instante, o erro na utilização da Eq. (ii) para aproximar as soluções da Eq. (i) não é maior do que .
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na primeira, usa-se a lei de Newton para o resfriamento de uma xícara de café:
com , e . Pede-se o instante em que .
Na segunda parte, trata-se da equação aproximada da lei de Stefan-Boltzmann para resfriamento por radiação,
com ,K, ,K (cujas soluções são aproximadas ignorando ), e . Pede-se:
(a) achar ;
(b) esboçar o gráfico de vs.\ ;
(c) encontrar tal que ,K.
O gráfico de u(t) é uma curva decrescente suave que parte de u(0)=2000,K e decai assintoticamente. Num esboço, plota-se u no eixo vertical, t no horizontal, com queda rápida inicial que vai se tornando mais lenta.
3alpha,tauapprox4,5046times10^-9, alpha=2,0times10^-12 ;Longrightarrow; tauapprox4,5046times10^-96,0times10^-12 approx750,8 sapprox12,5 min
Resposta
A xícara atinge 150^circF em aproximadamente 6,07 minutos.
(a) A solução da Eq.,(ii) é
u(t)=l(u0^-3+3alpha,tr)^-1/3
(b) O gráfico é uma curva decrescente rápida no início e que tomba suavemente.
(c) O instante em que u(tau)=600,K é tauapprox750,8,s (cerca de 12,5,min).