Determine se a functo dada é periódica. Se for, encontre seu periodo fundamental.
3 senh
3 senh
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a função $ f(x) = 3 , senh(2x) $ é periódica. Isso quer dizer que a gente precisa ver se existe um intervalo $ T $ tal que, ao somar $ T $ ao $ x $, a função repete seus valores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função periódica e um pouquinho sobre a função seno hiperbólico, que é o que a gente tem aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre função periódica. Uma função é dita periódica se existir um número positivo $ T $ (chamado de período) tal que para todo $ x $:
Ou seja, ao somar $ T $ ao argumento da função, ela volta a repetir os mesmos valores.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função que a gente tem: $ f(x) = 3 , senh(2x) $. A função seno hiperbólico, representada por $ senh(x) $, é definida como:
Diferente do seno comum, que é uma função periódica, o seno hiperbólico não tem esse comportamento naturalmente.
Passo 4
Para verificar a periodicidade, vamos supor que existe um período $ T $ tal que:
Queremos ver se isso é igual a $ 3 , senh(2x) $ para todo $ x $. Então, temos que:
Precisamos descobrir se existe algum $ T > 0 $ que satisfaça essa igualdade para todo $ x $.
Passo 5
Sabemos que a função $ senh(x) $ é uma função não periódica. Isso porque, ao resolver a equação $ senh(2x + 2T) = senh(2x) $, a única solução possível para $ T $ seria $ T = 0 $, que não é um período válido (precisamos de $ T > 0 $). Portanto, não existe um período $ T $ que faça a função repetir seus valores regularmente.
Resposta
A função $ f(x) = 3 , senh(2x) $ não é periódica.