Encontre o conjunto solução das inequações abaixo.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os valores de x que satisfazem lvert x^2-4xrvert >= x^2+1. O conteúdo envolvido é inequação com valor absoluto, e vamos precisar usar a definição de lvert Arvert>= B (com B>=0) que dá duas situações: A>= B ou A<= -B.

Passo 2

Como x^2+1>0 para todo x, podemos reescrever
lvert x^2-4xrvert >= x^2+1
como duas inequações sem valor absoluto:
  1. x^2-4x>= x^2+1
  2. x^2-4x<= -(x^2+1).

Passo 3

Na primeira inequação:
x^2-4x>= x^2+1
cancelamos x^2 dos dois lados, ficando
-4x>=1
ou seja
x<= -tfrac14 .

Passo 4

Na segunda inequação:
x^2-4x<= -x^2-1
somamos x^2+1 a ambos os lados:
2x^2-4x+1<=0
que é uma inequação quadrática. O discriminante é
De
As raízes são
x = 4pmraiz84 = 4pm2raiz24 = 2pmraiz22
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e a parte negativa fica entre as raízes. Logo
2-raiz22 <= x <= 2+raiz22

Passo 5

Juntando as duas soluções (união dos conjuntos) obtemos
xin (-infty, -tfrac14] ;cup; l[tfrac2-raiz22,,tfrac2+raiz22r]

Resposta

(-\infty, - tfrac14] \cup [ tfrac2-raiz22, tfrac2+raiz22]

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