Encontre o conjunto solução das inequações abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os valores de x que satisfazem lvert x^2-4xrvert >= x^2+1. O conteúdo envolvido é inequação com valor absoluto, e vamos precisar usar a definição de lvert Arvert>= B (com B>=0) que dá duas situações: A>= B ou A<= -B.
Passo 2
Como x^2+1>0 para todo x, podemos reescrever
lvert x^2-4xrvert >= x^2+1
como duas inequações sem valor absoluto:
x^2-4x>= x^2+1
x^2-4x<= -(x^2+1).
Passo 3
Na primeira inequação:
x^2-4x>= x^2+1
cancelamos x^2 dos dois lados, ficando
-4x>=1
ou seja
x<= -tfrac14 .
Passo 4
Na segunda inequação:
x^2-4x<= -x^2-1
somamos x^2+1 a ambos os lados:
2x^2-4x+1<=0
que é uma inequação quadrática. O discriminante é
De
As raízes são
x = 4pmraiz84 = 4pm2raiz24 = 2pmraiz22
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e a parte negativa fica entre as raízes. Logo
2-raiz22 <= x <= 2+raiz22
Passo 5
Juntando as duas soluções (união dos conjuntos) obtemos