Determine
e
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32.
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Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de
f(x,y,z)=y^{-3/2},\sec\bigl(\frac{x y}{z}\bigr).
O conteúdo é derivadas parciais de funções de várias variáveis. Vamos usar regras de derivação: produto, potência e cadeia.
Passo 2
Para f_x, tratamos y^{-3/2} como constante em relação a x e aplicamos a regra da cadeia em \sec(u), onde u=\tfrac{x y}{z}. Sabemos que (d/dx)\sec(u)=\sec(u)\tan(u)·u’, e u’=y/z. Assim obtemos
f_x=y{-3/2}\sec(u)\tan(u)·\frac{y}{z}=\frac{y{-1/2}}{z}\sec\bigl(\tfrac{x y}{z}\bigr)\tan\bigl(\tfrac{x y}{z}\bigr).
Passo 3
Para f_y, usamos produto entre g(y)=y^{-3/2} e h(u)=\sec(u) com u=xy/z. Primeiro, g’(y)=-\tfrac{3}{2}y^{-5/2}, então a derivada do produto é
g’(y)·h(u)+g(y)·h’(u).
g’(y)·h(u)+g(y)·h’(u).
O segundo termo exige a cadeia em \sec(u): h’(u)=\sec(u)\tan(u)·u’, com u’=x/z. Logo
f_y=-\tfrac{3}{2}y^{-5/2}\sec\bigl(\tfrac{x y}{z}\bigr)+y^{-3/2}·\sec\bigl(\tfrac{x y}{z}\bigr)\tan\bigl(\tfrac{x y}{z}\bigr)\cdot\tfrac{x}{z}
Passo 4
Para f_z, y^{-3/2} é constante e só vem o termo da regra da cadeia em \sec(u) com u=xy/z. Temos u’ em relação a z dado por d/dz(xy/z)=-xy/z^2. Então
f_z=y^{-3/2}·\sec(u)\tan(u)·\Bigl(-\frac{x y}{z^2}\Bigr)=-\frac{x y{-1/2}}{z2}\sec\bigl(\tfrac{x y}{z}\bigr)\tan\bigl(\tfrac{x y}{z}\bigr).