Dizemos que
é diferenciável em
, se existem reais
tais que
em que
é a função dada por
Prove (pela definição) que
é uma função diferenciável para todo
Passo 1
O enunciado pede para provar, pela definição de diferenciabilidade, que a função
é diferenciável em todo ponto
.
Pela definição, precisamos encontrar números reais e
tais que, se definirmos
Pela definição, precisamos encontrar números reais
então
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
.
A derivada parcial em relação a é
A derivada parcial em relação a
de modo que em
temos
A derivada parcial em relação a
é
logo em
tomamos
Passo 3
Expandimos
e obtemos
Assim
Subtraindo
, fica
Passo 4
Vamos mostrar que
Note que
Usando
|h|,|k|<=h^2+k^22 e
|h|<=raizh^2+k^2 ,
|k|<=raizh^2+k^2 , temos
Somando as estimativas, conclui-se que
o que prova a diferenciabilidade de
f em
(x0,y0) .
Resposta
A função
f(x,y)=x^2y é diferenciável em todo
R^2 .