Dizemos que f(x, y) é diferenciável em (x0, y0), se existem reais a, b in R tais que
lim (h, k) (0,0) E(h, k)|(h, k)|=0
em que E(h, k) é a função dada por
E(h, k)=f(x0+h, y0+k)-f(x0, y0)-a h-b k
Prove (pela definição) que f(x, y)=x^2 y é uma função diferenciável para todo (x, y) in R^2

Passo 1

O enunciado pede para provar, pela definição de diferenciabilidade, que a função
f(x,y)=x^2y
é diferenciável em todo ponto (x0,y0)inR^2.
Pela definição, precisamos encontrar números reais a e b tais que, se definirmos
E(h,k)=f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0)-a,h-b,k,
então
lim(h,k)to(0,0)E(h,k)raizh^2+k^2=0

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f.
A derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x(x,y) =partialpartial x(x^2y)=2x,y,
de modo que em (x0,y0) temos
a=partial fpartial x(x0,y0)=2x0y0
A derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y(x,y) =partialpartial y(x^2y)=x^2,
logo em (x0,y0) tomamos
b=partial fpartial y(x0,y0)=x0^2

Passo 3

Expandimos f(x0+h,y0+k) e obtemos
f(x0+h,y0+k) =(x0+h)^2(y0+k) =x0^2y0+2x0y0h+x0^2k+2x0h k+h^2y0+h^2k
Assim
f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0) =2x0y0h+x0^2k+2x0h k+h^2y0+h^2k
Subtraindo a,h+b,k=2x0y0h+x0^2k, fica
E(h,k)=2x0h k+h^2y0+h^2k

Passo 4

Vamos mostrar que
lim(h,k)to(0,0)E(h,k)raizh^2+k^2=0
Note que
l|E(h,k)r| <= |2x0||h|,|k|+|y0|,h^2+|h|^2|k|
Usando |h|,|k|<=h^2+k^22 e |h|<=raizh^2+k^2, |k|<=raizh^2+k^2, temos
|2x0||h|,|k|raizh^2+k^2 <= |x0|raizh^2+k^2;xrightarrow[(h,k)to(0,0)];0,
|y0|,h^2raizh^2+k^2 <= |y0|raizh^2+k^2;xrightarrow[(h,k)to(0,0)];0,
|h|^2|k|raizh^2+k^2 <=(raizh^2+k^2)^3raizh^2+k^2 =h^2+k^2;xrightarrow[(h,k)to(0,0)];0
Somando as estimativas, conclui-se que
|E(h,k)|raizh^2+k^2to0,
o que prova a diferenciabilidade de f em (x0,y0).

Resposta

A função f(x,y)=x^2y é diferenciável em todo R^2.

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