Dizemos que
é diferenciável em
, se existem reais
tais que
em que
é a função dada por
Prove (pela definição) que
é uma função diferenciável para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, pela definição, que a função
é diferenciável em qualquer ponto
.
Pela definição, devemos encontrar números reais e
tais que, se
Pela definição, devemos encontrar números reais
então
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
em
:
Pela teoria, escolhemos
Passo 3
Agora avaliamos
usando essa escolha de
e
:
Logo
Passo 4
Temos então
Como
quando
, segue que
Resposta
A função
é diferenciável em todo
, com
e
.