Dizemos que f(x, y) é diferenciável em (x0, y0), se existem reais a, b in R tais que
lim (h, k) (0,0) E(h, k)|(h, k)|=0
em que E(h, k) é a função dada por
E(h, k)=f(x0+h, y0+k)-f(x0, y0)-a h-b k
Prove (pela definição) que f(x, y)=x^2+y^2 é uma função diferenciável para todo (x, y) in R^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, pela definição, que a função
f(x,y)=x^2+y^2
é diferenciável em qualquer ponto (x0,y0)inR^2.
Pela definição, devemos encontrar números reais a e b tais que, se
E(h,k)=f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0)-a,h-b,k,
então
lim(h,k)to(0,0)E(h,k)|(h,k)|=0

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f em (x0,y0):
partial fpartial x(x0,y0)=2x0, partial fpartial y(x0,y0)=2y0
Pela teoria, escolhemos
a=2x0, b=2y0

Passo 3

Agora avaliamos E(h,k) usando essa escolha de a e b:
f(x0+h,y0+k)=(x0+h)^2+(y0+k)^2 =x0^2+2x0h+h^2+y0^2+2y0k+k^2
Logo
E(h,k)=l[x0^2+2x0h+h^2+y0^2+2y0k+k^2r] -l[x0^2+y0^2r] -2x0h-2y0k =h^2+k^2

Passo 4

Temos então
E(h,k)|(h,k)| =h^2+k^2raizh^2+k^2 =raizh^2+k^2 =|(h,k)|
Como |(h,k)|to0 quando (h,k)to(0,0), segue que
lim(h,k)to(0,0)E(h,k)|(h,k)|=0

Resposta

A função f(x,y)=x^2+y^2 é diferenciável em todo R^2, com a=2x0 e b=2y0.

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