Determine fx(x, y) e fy(x, y).
f(x, y)=y^-3 / 2 arctg(x / y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, mais precisamente das derivadas parciais. Pra resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar fx(x, y) = y^-3/2 cdot 11 + (xy)^2 cdot 1y = y^-5/21 + x^2y^2 = y^-5/2 cdot y^2y^2 + x^2 = y^-1/2y^2 + x^2 , ou seja, a derivada de em relação a . Como é uma constante em relação a , a gente pode tratar isso separadamente. A derivada da função em relação a é . Aqui, , então a derivada em relação a será:

Passo 3

Agora, vamos calcular fy(x, y) = ddy(y^-3/2) cdot arctan(xy) + y^-3/2 cdot ddy(arctan(xy)) , a derivada de ddy(y^-3/2) = -32 y^-5/2 em relação a ddy(arctan(xy)) = 11 + (xy)^2 cdot (-xy^2) = -xy^2 + x^2 . Aqui, temos duas partes que dependem de fy(x, y) = -32 y^-5/2 arctan(xy) - y^-3/2 cdot xy^2 + x^2 : e . Vamos usar a regra do produto:
Primeiro, a derivada de em relação a é:
Depois, a derivada de em relação a usando a regra da cadeia é:
Agora, juntando tudo:

Resposta

As derivadas parciais são:
fx(x, y) = y^-1/2y^2 + x^2
e
fy(x, y) = -32 y^-5/2 arctan(xy) - xy^3/2(y^2 + x^2)

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