Sejam f(x)=1-x e g(x)=\frac{x+2}{x-1}. Verifique que f^{-1}(x)=f(x) e g^{-1}(x)=g(x).

Passo 1

O enunciado dá duas funções:
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=1-x,
g\colon \mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\setminus\{1\},\quad g(x)=\frac{x+2}{x-1}.
Queremos achar f^{-1} e g^{-1} e mostrar que cada uma coincide com a própria função (ou seja, são involuções).

Passo 2

Para inverter f, escrevemos y=f(x)=1-x e resolvemos em função de x:
y=1-x \quad\Longrightarrow\quad x=1-y.
Logo,
f^{-1}(y)=1-y.
Como 1-y=f(y), concluímos que
f^{-1}(x)=1-x=f(x).

Passo 3

Para inverter g, começamos com
y=\frac{x+2}{x-1},\quad x\neq 1.
Multiplicando ambos os lados por x-1:
y(x-1)=x+2 \quad\Longrightarrow\quad yx-y = x+2 \quad\Longrightarrow\quad yx - x = y+2 \quad\Longrightarrow\quad x(y-1)=y+2.
Como y\neq 1 (o contradomínio de g exclui 1), segue
x = \frac{y+2}{y-1}.
Portanto
g^{-1}(y)=\frac{y+2}{y-1}.
Mas isso é exatamente g(y), então
g^{-1}(x)=\frac{x+2}{x-1}=g(x).

Resposta

f^{-1}(x)=f(x) e g^{-1}(x)=g(x).

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