Resolva a sistema:
\left\{\begin{array}{l}x+2 y+4 z=5 \\\\ 2 x-y+2 z=8 \\\\ 3 x-3 y-z=7\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x + 2y + 4z = 5,\\\\ 2x - y + 2z = 8,\\\\ 3x - 3y - z = 7 \end{cases}
Usaremos o método de eliminação de Gauss, que consiste em aplicar operações elementares para triangularizar o sistema e depois fazer retro-substituição.

Passo 2

Vamos escrever a matriz aumentada correspondente e zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 5 \\\\ 2 & -1 & 2 & 8 \\\\ 3 & -3 & -1 & 7 \end{array}\right]
Aplicaremos operações na linha 2 e na linha 3 usando a linha 1 como pivô.

Passo 3

Subtraímos 2 vezes a linha 1 da linha 2 e 3 vezes a linha 1 da linha 3, obtendo:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 5 \\\\ 0 & -5 & -6 & -2 \\\\ 0 & -9 & -13 & -8 \end{array}\right]
Isto equivale ao sistema reduzido
\begin{cases} x + 2y + 4z = 5,\\\\ -5y -6z = -2,\\\\ -9y -13z = -8. \end{cases}

Passo 4

Para eliminar y entre as duas últimas equações, multiplicamos a segunda por 9 e a terceira por 5:
\begin{cases} -45y -54z = -18,\\\\ -45y -65z = -40. \end{cases}
Subtraindo a primeira dessa segunda:
(-45y -65z) - (-45y -54z) = -40 - (-18) \quad\Rightarrow\quad -11z = -22 \quad\Rightarrow\quad z = 2.

Passo 5

Com z = 2, voltamos a -5y -6z = -2:
-5y -6\cdot2 = -2 \quad\Rightarrow\quad -5y -12 = -2 \quad\Rightarrow\quad -5y = 10 \quad\Rightarrow\quad y = -2.
Por fim, em x + 2y + 4z = 5:
x +2(-2) +4\cdot2 =5 \quad\Rightarrow\quad x -4 +8 =5 \quad\Rightarrow\quad x +4 =5 \quad\Rightarrow\quad x = 1.

Resposta

(x,y,z) = (1,\,-2,\,2)

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