Determine o gradiente de f.
Calcule o gradiente no ponto P.
Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u. f(x, y, z)=\sqrt{x+y z}, \quad P(1,3,1), \quad \mathbf{u}=\left(\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7}\right).
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y,z)=\sqrt{x+y z}, o ponto P(1,3,1) e o vetor unitário \mathbf{u}=\left(\frac{2}{7},\frac{3}{7},\frac{6}{7}\right). Ele pede três coisas:
Determinar o gradiente de f (isto é, \nabla f(x,y,z)).
Calcular o gradiente no ponto P (isto é, \nabla f(1,3,1)).
Determinar a taxa de variação de f em P na direção do vetor \mathbf{u} (ou seja, a derivada direcional D_{\mathbf{u}}f(1,3,1)).
As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são exatamente f(x,y,z), as coordenadas de P e as componentes de \mathbf{u}.
Passo 2
Entendendo o que é preciso calcular (aulas rápidas e práticas).
O gradiente de f é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a cada coordenada:
Cada derivada parcial significa: derivar f em relação a uma variável, mantendo as outras fixas — pense nisso como olhar para a variação de f quando só uma coordenada muda.
Para funções compostas como f(x,y,z)=\sqrt{x+y z}=(x+y z)^{1/2}, usamos a regra da cadeia: se f(g)=g^{1/2}, então f'(g)=\tfrac{1}{2}g^{-1/2} e multiplicamos pela derivada do argumento g(x,y,z)=x+y z em relação à variável desejada.
Vou aplicar isso passo a passo para cada parcial.
Passo 3
Calcular \frac{\partial f}{\partial x}.
Escrevendo f(x,y,z)=(x+y z)^{1/2}. Pela regra da cadeia:
Preparar para calcular a taxa de variação na direção de \mathbf{u}.
A derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é dada pelo produto escalar entre o gradiente em P e \mathbf{u}:
Calcular o produto escalar passo a passo.
Usando \nabla f(1,3,1)=\left(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\right) e \mathbf{u}=\left(\tfrac{2}{7},\tfrac{3}{7},\tfrac{6}{7}\right),