Determine o gradiente de f.
Calcule o gradiente no ponto P.
Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
f(x, y, z)=\sqrt{x+y z}, \quad P(1,3,1), \quad \mathbf{u}=\left(\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=\sqrt{x+y z}, o ponto P(1,3,1) e o vetor unitário \mathbf{u}=\left(\frac{2}{7},\frac{3}{7},\frac{6}{7}\right). Ele pede três coisas:
  1. Determinar o gradiente de f (isto é, \nabla f(x,y,z)).
  2. Calcular o gradiente no ponto P (isto é, \nabla f(1,3,1)).
  3. Determinar a taxa de variação de f em P na direção do vetor \mathbf{u} (ou seja, a derivada direcional D_{\mathbf{u}}f(1,3,1)).
As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são exatamente f(x,y,z), as coordenadas de P e as componentes de \mathbf{u}.

Passo 2

Entendendo o que é preciso calcular (aulas rápidas e práticas).
  • O gradiente de f é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a cada coordenada:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Cada derivada parcial significa: derivar f em relação a uma variável, mantendo as outras fixas — pense nisso como olhar para a variação de f quando só uma coordenada muda.
  • Para funções compostas como f(x,y,z)=\sqrt{x+y z}=(x+y z)^{1/2}, usamos a regra da cadeia: se f(g)=g^{1/2}, então f'(g)=\tfrac{1}{2}g^{-1/2} e multiplicamos pela derivada do argumento g(x,y,z)=x+y z em relação à variável desejada.
Vou aplicar isso passo a passo para cada parcial.

Passo 3

Calcular \frac{\partial f}{\partial x}.
Escrevendo f(x,y,z)=(x+y z)^{1/2}. Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2}(x+y z)^{-1/2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+y z).
Agora \frac{\partial}{\partial x}(x+y z)=1 porque y z é tratado como constante ao derivar em relação a x. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2}(x+y z)^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x+y z}}.

Passo 4

Calcular \frac{\partial f}{\partial y} e \frac{\partial f}{\partial z}.
Usando a mesma ideia da regra da cadeia, primeiro para y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2}(x+y z)^{-1/2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+y z).
Agora \frac{\partial}{\partial y}(x+y z)=z (porque derivada de y z em relação a y é z). Assim
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{z}{2\sqrt{x+y z}}.
Para z:
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{2}(x+y z)^{-1/2}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(x+y z).
E \frac{\partial}{\partial z}(x+y z)=y. Então
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{y}{2\sqrt{x+y z}}.

Passo 5

Colocar tudo junto: expressão do gradiente.
Juntando as parciais obtidas,
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{1}{2\sqrt{x+y z}},\;\frac{z}{2\sqrt{x+y z}},\;\frac{y}{2\sqrt{x+y z}}\right).
Isso é o gradiente geral de f. Ótimo — agora avaliamos no ponto P.

Passo 6

Avaliar o gradiente no ponto P(1,3,1).
Primeiro calcule o argumento dentro da raiz em P:
x+y z\Big|_{(1,3,1)}=1+3\cdot 1=4.
Então \sqrt{x+y z}\big|_{P}=\sqrt{4}=2.
Substituindo em cada componente:
\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{P}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4},
\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{P}=\frac{z}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}\quad\text{(porque \(z=1\) em \(P\))},
\frac{\partial f}{\partial z}\Big|_{P}=\frac{y}{2\cdot 2}=\frac{3}{4}\quad\text{(porque \(y=3\) em \(P\))}.
Portanto
\boxed{\nabla f(1,3,1)=\left(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\right).}

Passo 7

Preparar para calcular a taxa de variação na direção de \mathbf{u}.
A derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é dada pelo produto escalar entre o gradiente em P e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(1,3,1)=\nabla f(1,3,1)\cdot\mathbf{u}.
Antes de calcular, verifico que \mathbf{u} é unitário:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\left(\tfrac{2}{7}\right)^2+\left(\tfrac{3}{7}\right)^2+\left(\tfrac{6}{7}\right)^2} =\sqrt{\tfrac{4+9+36}{49}}=\sqrt{\tfrac{49}{49}}=1.
Beleza — podemos usar diretamente a fórmula.

Passo 8

Calcular o produto escalar passo a passo.
Usando \nabla f(1,3,1)=\left(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\right) e \mathbf{u}=\left(\tfrac{2}{7},\tfrac{3}{7},\tfrac{6}{7}\right),
D_{\mathbf{u}}f(1,3,1)=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{7}+\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{7}+\frac{3}{4}\cdot\frac{6}{7}.
Calculo cada parcela:
\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{7}=\frac{2}{28}=\frac{1}{14}, \quad \frac{1}{4}\cdot\frac{3}{7}=\frac{3}{28}, \quad \frac{3}{4}\cdot\frac{6}{7}=\frac{18}{28}.
Somando:
D_{\mathbf{u}}f(1,3,1)=\frac{2+3+18}{28}=\frac{23}{28}.

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x+y z}},\dfrac{z}{2\sqrt{x+y z}},\dfrac{y}{2\sqrt{x+y z}}\right)\n
\nabla f(1,3,1)=\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4}\right)\n
D_{\mathbf{u}}f(1,3,1)=\dfrac{23}{28}

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