Os Exercícios 39-41 pedem a determinação da equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado.
x y z=6, \quad(3,2,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado. Informações fornecidas:
  • Superfície: x y z = 6.
  • Ponto em que queremos o plano tangente: (3,2,1).
  • Pergunta: determinar a equação do plano tangente à superfície em (3,2,1).

Passo 2

Escolha do método (sem resolver ainda): vou usar a fórmula para superfícies definidas implicitamente. A ideia é transformar a superfície em uma função F(x,y,z)=0 e usar o gradiente \nabla F avaliado no ponto para obter um vetor normal ao plano tangente. Em seguida uso a forma ponto-normal do plano. Este método é direto e evita manipular explicitamente z desde o começo.

Passo 3

Defino a função implícita F associada à superfície. Seja
F(x,y,z) = x y z - 6.
Explicação: a superfície é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que F(x,y,z)=0. Para achar a direção normal ao plano tangente em um ponto, usamos o gradiente de F.

Passo 4

Definição do gradiente e interpretação das derivadas parciais. O gradiente de F é o vetor das derivadas parciais:
\nabla F(x,y,z) = \left(\frac{\partial F}{\partial x},\; \frac{\partial F}{\partial y},\; \frac{\partial F}{\partial z}\right).
Explicação didática: cada derivada parcial \frac{\partial F}{\partial x} representa a taxa de variação de F quando só x varia (mantendo y e z fixos). Esse vetor aponta perpendicularmente à superfície (ou seja, é normal ao plano tangente).

Passo 5

Calculo as derivadas parciais de F(x,y,z)=x y z - 6. Tratando os outros dois como constantes:
\frac{\partial F}{\partial x} = y z,
\frac{\partial F}{\partial y} = x z,
\frac{\partial F}{\partial z} = x y.
Explicação rápida: por exemplo, \frac{\partial}{\partial x}(x y z) = y z porque y e z são constantes ao derivar em relação a x.

Passo 6

Avalio o gradiente no ponto dado (3,2,1). Substituindo x=3, y=2, z=1:
\frac{\partial F}{\partial x}(3,2,1) = 2\cdot 1 = 2,
\frac{\partial F}{\partial y}(3,2,1) = 3\cdot 1 = 3,
\frac{\partial F}{\partial z}(3,2,1) = 3\cdot 2 = 6.
Portanto o vetor normal ao plano tangente é
\nabla F(3,2,1) = (2,3,6).

Passo 7

Usando a forma ponto-normal do plano: se \mathbf{n}=(A,B,C) é um vetor normal e P_0=(x_0,y_0,z_0) é ponto no plano, então a equação do plano é
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Aqui (A,B,C)=(2,3,6) e P_0=(3,2,1). Substituindo:
2(x-3)+3(y-2)+6(z-1)=0.

Passo 8

Faço a expansão e simplificação passo a passo:
2(x-3)+3(y-2)+6(z-1)=0
\Rightarrow 2x-6 + 3y-6 + 6z-6 = 0
\Rightarrow 2x + 3y + 6z -18 = 0.

Passo 9

Também posso isolar z para obter a forma explícita (útil para aproximações lineares):
6z = 18 - 2x - 3y
\Rightarrow z = 3 - \tfrac{1}{3}x - \tfrac{1}{2}y.
Observação: esta é a função linear que fornece a aproximação de z perto de (3,2) quando a superfície é escrita como z=f(x,y).

Passo 10

Verificação rápida: plugando o ponto (3,2,1) na equação 2x+3y+6z-18 obtemos 2\cdot3+3\cdot2+6\cdot1-18=6+6+6-18=0, então o ponto está no plano — sinal de que o cálculo está consistente. Força aí, você já tem a equação e a interpretação geométrica!

Resposta

2(x-3)+3(y-2)+6(z-1)=0
2x+3y+6z-18=0
z = 3 - \tfrac{1}{3}x - \tfrac{1}{2}y

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