Os Exercícios 39-41 pedem a determinação da equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado.
.
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado. Informações fornecidas:
- Superfície:
. - Ponto em que queremos o plano tangente:
. - Pergunta: determinar a equação do plano tangente à superfície em
.
Passo 2
Escolha do método (sem resolver ainda): vou usar a fórmula para superfícies definidas implicitamente. A ideia é transformar a superfície em uma função
e usar o gradiente
avaliado no ponto para obter um vetor normal ao plano tangente. Em seguida uso a forma ponto-normal do plano. Este método é direto e evita manipular explicitamente
desde o começo.
Passo 3
Defino a função implícita
associada à superfície. Seja
Explicação: a superfície é o conjunto de pontos
tais que
. Para achar a direção normal ao plano tangente em um ponto, usamos o gradiente de
.
Passo 4
Definição do gradiente e interpretação das derivadas parciais. O gradiente de
é o vetor das derivadas parciais:
Explicação didática: cada derivada parcial
representa a taxa de variação de
quando só
varia (mantendo
e
fixos). Esse vetor aponta perpendicularmente à superfície (ou seja, é normal ao plano tangente).
Passo 5
Calculo as derivadas parciais de
. Tratando os outros dois como constantes:
Explicação rápida: por exemplo,
porque
e
são constantes ao derivar em relação a
.
Passo 6
Avalio o gradiente no ponto dado
. Substituindo
,
,
:
Portanto o vetor normal ao plano tangente é
Passo 7
Usando a forma ponto-normal do plano: se
é um vetor normal e
é ponto no plano, então a equação do plano é
Aqui
e
. Substituindo:
Passo 8
Faço a expansão e simplificação passo a passo:
Passo 9
Também posso isolar
para obter a forma explícita (útil para aproximações lineares):
Observação: esta é a função linear que fornece a aproximação de
perto de
quando a superfície é escrita como
.
Passo 10
Verificação rápida: plugando o ponto
na equação
obtemos
, então o ponto está no plano — sinal de que o cálculo está consistente. Força aí, você já tem a equação e a interpretação geométrica!