Determine o gradiente de f, calcule o gradiente no ponto P, determine a variação de f em P na direção do vetor u.
f(x, y)=sen(2 x+3 y), P=(-3,2), u=2 i+3 j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) = \sin(2x + 3y) $ e queremos fazer três coisas:
  1. Encontrar o gradiente dessa função.
  2. Calcular o gradiente no ponto $ P = (-3, 2) $.
  3. Determinar como a função varia nesse ponto $ P $ na direção do vetor $ \mathbf{u} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre gradientes e como eles indicam a direção de maior variação de uma função. Também vamos trabalhar com vetores e como normalizá-los para calcular variações em direções específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) = \sin(2x + 3y) $.
O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de uma função em relação às suas variáveis. Para duas variáveis, fica assim:
f(x, y) = sin(2x + 3y)
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
x
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \sin(u) $ em relação a $ x $ é $ \cos(u) $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ x $. No caso, $ u = 2x + 3y $, então a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é 2.

Passo 4

Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
y
Seguindo o mesmo raciocínio: derivada de $ \sin(u) $ é $ \cos(u) $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ y $, que é 3.

Passo 5

Então, juntando tudo, o gradiente da função $ f $ é:
f

Passo 6

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto $ P = (-3, 2) $. Basta substituir $ x = -3 $ e $ y = 2 $ na expressão do gradiente:
P = (-3, 2)
Simplificando os termos dentro do cosseno:
x = -3
Então:
y = 2
E sabemos que $ \cos(0) = 1 $, então:
nabla f(-3, 2) = ( 2 cos(2(-3) + 3(2)), 3 cos(2(-3) + 3(2)) )

Passo 7

Agora, queremos determinar a variação de $ f $ no ponto $ P $ na direção do vetor $ \mathbf{u} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} $. Para isso, vamos usar a fórmula:
f çãá
Primeiro, precisamos transformar $ \mathbf{u} $ em um vetor unitário $ \mathbf{u}_{unitário} $.

Passo 8

Calculando a magnitude de $ \mathbf{u} $:
u
Então, o vetor unitário na direção de $ \mathbf{u} $ é:
|u| = raiz2^2 + 3^2 = raiz4 + 9 = raiz13 á

Passo 9

Agora, calculamos o produto escalar entre $ \nabla f§ = (2, 3) $ e $ \mathbf{u}_{unitário} = \left( \frac{2}{\sqrt{13}},\ \frac{3}{\sqrt{13}} \right) $:
nabla f(P) = (2, 3) çã

Resposta

A variação de $ f $ no ponto $ P = (-3, 2) $ na direção do vetor $ \mathbf{u} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} $ é $ \sqrt{13} $.

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