Determine o gradiente de
, calcule o gradiente no ponto
, determine a variação de f em P na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) = \sin(2x + 3y) $ e queremos fazer três coisas:
- Encontrar o gradiente dessa função.
- Calcular o gradiente no ponto $ P = (-3, 2) $.
- Determinar como a função varia nesse ponto $ P $ na direção do vetor $ \mathbf{u} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre gradientes e como eles indicam a direção de maior variação de uma função. Também vamos trabalhar com vetores e como normalizá-los para calcular variações em direções específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) = \sin(2x + 3y) $.
O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de uma função em relação às suas variáveis. Para duas variáveis, fica assim:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \sin(u) $ em relação a $ x $ é $ \cos(u) $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ x $. No caso, $ u = 2x + 3y $, então a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é 2.
Passo 4
Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
Seguindo o mesmo raciocínio: derivada de $ \sin(u) $ é $ \cos(u) $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ y $, que é 3.
Passo 5
Então, juntando tudo, o gradiente da função $ f $ é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto $ P = (-3, 2) $. Basta substituir $ x = -3 $ e $ y = 2 $ na expressão do gradiente:
Simplificando os termos dentro do cosseno:
Então:
E sabemos que $ \cos(0) = 1 $, então:
Passo 7
Agora, queremos determinar a variação de $ f $ no ponto $ P $ na direção do vetor $ \mathbf{u} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} $. Para isso, vamos usar a fórmula:
Primeiro, precisamos transformar $ \mathbf{u} $ em um vetor unitário $ \mathbf{u}_{unitário} $.
Passo 8
Calculando a magnitude de $ \mathbf{u} $:
Então, o vetor unitário na direção de $ \mathbf{u} $ é:
Passo 9
Agora, calculamos o produto escalar entre $ \nabla f§ = (2, 3) $ e $ \mathbf{u}_{unitário} = \left( \frac{2}{\sqrt{13}},\ \frac{3}{\sqrt{13}} \right) $:
Resposta
A variação de $ f $ no ponto $ P = (-3, 2) $ na direção do vetor $ \mathbf{u} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} $ é $ \sqrt{13} $.