Calcule as integrais indefinidas a seguir.
integral tg(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral tan(x),dx. O conteúdo envolve integração de funções trigonométricas e vamos precisar usar a definição de tan(x) e um método de substituição simples.

Passo 2

Lembrando que tan(x)=dfracsin(x)cos(x), podemos reescrever a integral como
integral tan(x),dx = integral sin(x)cos(x),dx

Passo 3

Para resolver, fazemos a substituição u=cos(x). Assim, temos
du = -sin(x),dx Rightarrow -du = sin(x),dx

Passo 4

Substituindo na integral:
integral sin(x)cos(x),dx = integral -duu = -integral duu

Passo 5

A integral de 1/u é ln|u|, então obtemos
-integral duu = -ln|u| + C

Passo 6

Voltando à variável original x com u=cos(x), a primitiva fica
-ln|cos(x)| + C

Resposta

-\ln|\cos(x)| + C

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