9.1 Seja u=\ln z=\ln r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\ln r+\mathrm{i} \theta a função logaritmo definida pelo corte {z=(x, y) \mid- \infty<x \leq 0 ; y=0} de tal maneira que -\pi<\theta \leq \pi. Calcule
\ln \left[\left(\frac{1-i}{1+i}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o logaritmo principal
\ln\!\Bigl[\frac{1 - i}{1 + i}\Bigr]
sabendo que, na convenção escolhida,
\ln z = \ln r + i\,\theta,\quad -\pi<\theta\le\pi.

Passo 2

Para simplificar a fração, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 1+i:
\frac{1 - i}{1 + i} = \frac{(1 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 - 2i - 1}{1 + 1} = \frac{-2i}{2} = -\,i.

Passo 3

Agora temos que
\ln\!\bigl(-i\bigr) = \ln\bigl| -i\bigr| + i\Arg(-i).
Como \bigl|-i\bigr|=1 e o argumento principal de -i (no intervalo -\pi<\theta\le\pi) é \theta=-\tfrac{\pi}{2}, segue
\ln(-i)=\ln(1)+i\Bigl(-\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = -\,i\,\frac{\pi}{2}.

Resposta

\ln\!\Bigl[\frac{1 - i}{1 + i}\Bigr] = -\,\frac{i\pi}{2}.

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