Determine o gradiente dos seguintes campos escalares:
V=e^{2 x+3 y} \cos (5 z)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente do campo escalar
V(x,y,z)=e^{2x+3y}\cos(5z).
Para isso vamos usar o conceito de gradiente, que é dado por
\nabla V = \Bigl(\frac{\partial V}{\partial x},\,\frac{\partial V}{\partial y},\,\frac{\partial V}{\partial z}\Bigr).

Passo 2

Calculamos \displaystyle \frac{\partial V}{\partial x}. Aqui \cos(5z) é constante em relação a x e \frac{d}{dx}e^{2x+3y}=2e^{2x+3y}. Logo
\frac{\partial V}{\partial x} =2e^{2x+3y}\cos(5z).

Passo 3

Agora \displaystyle \frac{\partial V}{\partial y}. Similarmente, \cos(5z) é constante em relação a y e \frac{d}{dy}e^{2x+3y}=3e^{2x+3y}. Assim
\frac{\partial V}{\partial y} =3e^{2x+3y}\cos(5z).

Passo 4

Por fim, \displaystyle \frac{\partial V}{\partial z}. Agora e^{2x+3y} é constante em relação a z e \frac{d}{dz}\cos(5z)=-5\sin(5z). Portanto
\frac{\partial V}{\partial z} =-5\,e^{2x+3y}\sin(5z).

Passo 5

Reunindo as três derivadas, obtemos o vetor gradiente completo.

Resposta

\nabla V = \bigl(2e^{2x+3y}\cos(5z),\;3e^{2x+3y}\cos(5z),\;-5e^{2x+3y}\sin(5z)\bigr).

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