Determine o gradiente dos seguintes campos escalares:
H=r^{-2} \cos (\theta) \cos (\varphi)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente do campo escalar
H(r,\theta,\varphi)=r^{-2}\,\cos(\theta)\,\cos(\varphi)
em coordenadas esféricas r,\theta,\varphi. Para resolver, vamos usar a expressão do operador gradiente em coordenadas esféricas e calcular as derivadas parciais de H em relação a r, \theta e \varphi.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, o gradiente de um escalar H(r,\theta,\varphi) é
\grad H =\hat{r}\,\frac{\partial H}{\partial r} +\hat{\theta}\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial H}{\partial \theta} +\hat{\varphi}\,\frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\partial H}{\partial \varphi}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de H:
\frac{\partial H}{\partial r} =\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{-2}\cos\theta\cos\varphi\bigr) =-2\,r^{-3}\cos\theta\cos\varphi,
\frac{\partial H}{\partial \theta} =\frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(r^{-2}\cos\theta\cos\varphi\bigr) =-r^{-2}\sin\theta\cos\varphi,
\frac{\partial H}{\partial \varphi} =\frac{\partial}{\partial \varphi}\bigl(r^{-2}\cos\theta\cos\varphi\bigr) =-r^{-2}\cos\theta\sin\varphi.

Passo 4

Substituímos no operador gradiente:
\grad H =\hat{r}\,\bigl(-2\,r^{-3}\cos\theta\cos\varphi\bigr) +\hat{\theta}\,\frac{1}{r}\,\bigl(-r^{-2}\sin\theta\cos\varphi\bigr) +\hat{\varphi}\,\frac{1}{r\sin\theta}\,\bigl(-r^{-2}\cos\theta\sin\varphi\bigr).

Passo 5

Fatorando r^{-3} e organizando, obtemos
\grad H =-2\,\frac{\cos\theta\cos\varphi}{r^{3}}\;\hat{r} -\frac{\sin\theta\cos\varphi}{r^{3}}\;\hat{\theta} -\frac{\cos\theta\sin\varphi}{r^{3}\,\sin\theta}\;\hat{\varphi}.

Resposta

\boxed{ \grad H =-2\,\frac{\cos\theta\cos\varphi}{r^{3}}\;\hat{r} -\frac{\sin\theta\cos\varphi}{r^{3}}\;\hat{\theta} -\frac{\cos\theta\sin\varphi}{r^{3}\,\sin\theta}\;\hat{\varphi} }.

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