Determine o gradiente dos seguintes campos escalares:
T=5 \rho e^{-2 z} \operatorname{sen}(\varphi)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de um campo escalar em coordenadas cilíndricas:
T(\rho,\varphi,z) = 5\,\rho\,e^{-2z}\sin(\varphi).
O conteúdo aqui é cálculo vetorial em coordenadas cilíndricas. Para resolver, vamos usar a fórmula do gradiente nesse sistema e calcular as derivadas parciais de T.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z), o gradiente de um escalar T é dado por
\grad T = \hat{e}_\rho \,\frac{\partial T}{\partial \rho} + \hat{e}_\varphi \,\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial T}{\partial \varphi} + \hat{e}_z \,\frac{\partial T}{\partial z}.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de T(\rho,\varphi,z)=5\,\rho\,e^{-2z}\sin(\varphi):
\frac{\partial T}{\partial \rho} = 5\,e^{-2z}\sin(\varphi),
\frac{\partial T}{\partial \varphi} = 5\,\rho\,e^{-2z}\cos(\varphi),
\frac{\partial T}{\partial z} = 5\,\rho\,\bigl(-2\bigr)\,e^{-2z}\sin(\varphi) = -10\,\rho\,e^{-2z}\sin(\varphi).

Passo 4

Substituindo na fórmula do gradiente:
\grad T = \hat{e}_\rho\bigl(5\,e^{-2z}\sin(\varphi)\bigr) + \hat{e}_\varphi\,\frac{1}{\rho}\bigl(5\,\rho\,e^{-2z}\cos(\varphi)\bigr) + \hat{e}_z\bigl(-10\,\rho\,e^{-2z}\sin(\varphi)\bigr).
O termo em \hat{e}_\varphi simplifica porque 1/\rho cancela \rho. Logo,
\grad T = 5\,e^{-2z}\sin(\varphi)\,\hat{e}_\rho + 5\,e^{-2z}\cos(\varphi)\,\hat{e}_\varphi -10\,\rho\,e^{-2z}\sin(\varphi)\,\hat{e}_z.

Resposta

\grad T = 5\,e^{-2z}\sin(\varphi)\,\hat{e}_\rho + 5\,e^{-2z}\cos(\varphi)\,\hat{e}_\varphi -10\,\rho\,e^{-2z}\sin(\varphi)\,\hat{e}_z.

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