Determine o grau da seguinte equação diferencial:
x(y^prime)^2+y^3=sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o grau da seguinte equação diferencial:
x(y^prime)^2 + y^3 = sen(x)
Matéria envolvida: Vamos trabalhar com equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente entendendo o que significa o grau de uma equação diferencial. Para resolver isso, precisamos saber identificar o grau da equação, que é a potência do maior derivado presente na equação quando ela está polinomial em relação aos derivados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o grau de uma equação diferencial. O grau é o expoente mais alto do derivado mais alto (como $ y’ $, $ y’’ $, etc.) na equação diferencial, desde que a equação seja polinomial em relação aos derivados. Isso significa que a equação deve ser um polinômio onde os derivados aparecem como termos separados e não dentro de funções como senos, cossenos, exponenciais, etc.

Passo 3

Agora, vamos analisar a nossa equação:
x(y^prime)^2 + y^3 = sen(x)
Aqui, temos $ \left(y{\prime}\right){2} (y^prime)^2 é y’ $) elevado ao quadrado. Também temos $ y^{3} $, que é apenas a função $ y $ elevada ao cubo, e $ \operatorname{sen}(x) $, que é uma função senoidal de $ x $.

Passo 4

Para determinar o grau, precisamos assegurar que a equação seja polinomial em relação aos derivados. Observamos que:
  • $ \left(y{\prime}\right){2} $ é um termo polinomial, já que $ y’ $ está elevado a uma potência inteira.
  • $ y^{3} $ também é polinomial em $ y $.
  • $ \operatorname{sen}(x) $ é uma função não polinomial, mas ela está isolada e não interfere no grau da equação em relação aos derivados.

Passo 5

Então, o grau da equação diferencial é determinado pela maior potência aplicada ao derivado mais alto presente na equação. Neste caso, o derivado mais alto é $ y’ $, e ele está elevado ao quadrado.

Resposta

O grau da equação diferencial é 2.

Exercícios relacionados