Use os Teoremas Fundamentais do Cálculo para calcular:
dd x integral0^sen x d t1-t^2;

Passo 1

O enunciado pede a derivada de integral0^sin x dt1-t^2 em relação a x. O conteúdo é a aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo (primeira parte) junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se definirmos F(u)=integral0^uf(t),dt, então F'(u)=f(u). Quando o limite superior é uma função u=g(x), a derivada é F'(g(x)),g'(x).

Passo 3

Aqui temos f(t)=11-t^2 e o limite superior g(x)=sin x. Calculamos primeiro g'(x):
g'(x)=ddxsin x=cos x

Passo 4

Usando o teorema com a regra da cadeia, obtemos:
ddxintegral0^sin x dt1-t^2 =11-(sin x)^2cdotcos x
Agora basta simplificar:

Passo 5

Como 1-sin^2x=cos^2x, temos
cos x1-sin^2x =cos xcos^2x =1cos x =sec x

Resposta

sec x

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