Determine h(x, y)=g(f(x, y)) e o conjunto no qual h é contínua.
g(t)=t+ln (t), f(x, y)=2 x+3 y-6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisa determinar a função $ h(x, y) = g(f(x, y)) $. Além disso, precisamos descobrir em qual conjunto essa função $ h $ é contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções compostas e continuidade. Vamos ao passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que a gente tem:
  • $ f(x, y) = 2x + 3y - 6 $
  • $ g(t) = t + \ln(t) $
Queremos compor essas funções para encontrar $ h(x, y) $.

Passo 3

A composição de funções significa que a gente vai passar o resultado de uma função como entrada para outra. No nosso caso, isso fica assim:
h(x, y) = g(f(x, y))
Então, vamos substituir $ f(x, y) $ na função $ g(t) $:
f(x, y)

Passo 4

Agora, vamos substituir $ t $ por $ 2x + 3y - 6 $ na expressão de $ g(t) $:
t
Então, nossa função composta $ h(x, y) $ fica:
2x + 3y - 6

Passo 5

Agora, vamos verificar onde $ h(x, y) $ é contínua. Para uma função composta ser contínua, todas as funções envolvidas também precisam ser contínuas no domínio considerado.
Sabemos que:
  • A função $ f(x, y) = 2x + 3y - 6 $ é um polinômio, que é contínuo em todo o h(x, y) .
  • A função $ g(t) = t + \ln(t) $ é contínua onde $ \ln(t) $ está definida, ou seja, para $ t > 0 $.

Passo 6

Então, para $ h(x, y) $ ser contínua, precisamos que:
h(x, y)
Resolvendo essa desigualdade:
2x + 3y - 6 > 0
2x + 3y - 6 > 0

Passo 7

Portanto, a função $ h(x, y) $ é contínua no conjunto de todos os pares $ (x, y) $ que satisfazem a desigualdade $ 2x + 3y > 6 $.

Resposta

A função composta é:
h(x, y) = 2x + 3y - 6 + ln(2x + 3y - 6)
E ela é contínua para todos os pontos $ (x, y) $ que satisfazem $ 2x + 3y > 6 $.

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