Determine
e o conjunto no qual
é contínua.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisa determinar a função $ h(x, y) = g(f(x, y)) $. Além disso, precisamos descobrir em qual conjunto essa função $ h $ é contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções compostas e continuidade. Vamos ao passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que a gente tem:
- $ f(x, y) = 2x + 3y - 6 $
- $ g(t) = t + \ln(t) $
Queremos compor essas funções para encontrar $ h(x, y) $.
Passo 3
A composição de funções significa que a gente vai passar o resultado de uma função como entrada para outra. No nosso caso, isso fica assim:
Então, vamos substituir $ f(x, y) $ na função $ g(t) $:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ t $ por $ 2x + 3y - 6 $ na expressão de $ g(t) $:
Então, nossa função composta $ h(x, y) $ fica:
Passo 5
Agora, vamos verificar onde $ h(x, y) $ é contínua. Para uma função composta ser contínua, todas as funções envolvidas também precisam ser contínuas no domínio considerado.
Sabemos que:
- A função $ f(x, y) = 2x + 3y - 6 $ é um polinômio, que é contínuo em todo o
. - A função $ g(t) = t + \ln(t) $ é contínua onde $ \ln(t) $ está definida, ou seja, para $ t > 0 $.
Passo 6
Então, para $ h(x, y) $ ser contínua, precisamos que:
Resolvendo essa desigualdade:
Passo 7
Portanto, a função $ h(x, y) $ é contínua no conjunto de todos os pares $ (x, y) $ que satisfazem a desigualdade $ 2x + 3y > 6 $.
Resposta
A função composta é:
E ela é contínua para todos os pontos $ (x, y) $ que satisfazem $ 2x + 3y > 6 $.