Ache um valor mínimo (máximo) relativo se f, sujeito ao vínculo indicado. Suponha que o valor mínimo (máximo) relativo exista.
g(x, y)=x+y com vínculo x^2+y^2=9, máximo relativo.

Passo 1

A questão pede para achar o máximo relativo da função g(x,y)=x+y sujeito ao vínculo x^2+y^2=9. O conteúdo envolvido é o método dos multiplicadores de Lagrange, pois queremos otimizar g com uma restrição de igualdade.

Passo 2

Formamos a Lagrangiana adicionando um multiplicador lambda para impor o vínculo:
L(x,y,lambda)=x+y+lambdal(9 - x^2 - y^2r)
A ideia é achar pontos críticos de L que satisfaçam simultaneamente as equações nabla L=0 e o vínculo.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Lpartial x=1 - 2lambda x=0,partial Lpartial y=1 - 2lambda y=0,partial Lpartial lambda=9 - x^2 - y^2=0
Das duas primeiras equações vem 1=2lambda x e 1=2lambda y, logo x=y.

Passo 4

Substituindo x=y no vínculo x^2+y^2=9 obtemos
2x^2=9Rightarrow x=pm3raiz2, y=pm3raiz2
Calculamos g nesses pontos:
- Para (x,y)=l(tfrac3raiz2,tfrac3raiz2r), g=3/raiz2+3/raiz2=3raiz2.
- Para (x,y)=l(-tfrac3raiz2,-tfrac3raiz2r), g=-3raiz2.
Como queremos o máximo relativo, escolhemos 3raiz2.

Resposta

O valor máximo relativo de g sob o vínculo x^2+y^2=9 é 3raiz2, atingido no ponto (3/raiz2,,3/raiz2).

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