Determine
e o conjunto no qual
é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a função
que é a composição de duas funções,
e
. Além disso, vamos descobrir para quais valores de
e
essa função
é contínua. Para resolver isso, vamos usar conceitos de composição de funções e continuidade. Vamos precisar manipular as expressões das funções dadas e lembrar das condições para que a função logarítmica esteja definida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que a gente vai aplicar a função
no resultado da função
. Então, vamos substituir
na expressão de
.
Passo 3
A função
é dada por:
E a função
é:
Então, substituindo
em
, temos:
Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos analisar onde essa função
é contínua. Para isso, precisamos verificar as condições de continuidade das funções que compõem
.
-
A fração
está definida para todos os valores de e , porque o denominador nunca é zero (já que ). -
A função logarítmica
só está definida quando . Portanto, para que seja válida, precisamos que:
Como o denominador é sempre positivo, isso implica que o numerador também deve ser positivo:
Passo 5
Então, juntando tudo, a função
é contínua para todos os pares
que satisfazem
. Isso porque nessas condições, a função logarítmica está bem definida e todas as operações envolvidas são contínuas.
Resposta
A função composta é dada por:
E
é contínua no conjunto de todos os pares
tais que: