Encontre a equação do plano pi que passa pelos pontos A=(1,0,0), B=(0,0,1) e é perpendicular ao plano y=z

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano pi que passa pelos pontos A=(1,0,0), B=(0,0,1) e é perpendicular ao plano y=z. O conteúdo envolve vetores normais de planos e a condição de perpendicularidade entre planos.

Passo 2

Como o plano y=z tem equação
y - z = 0
seu vetor normal é n1=(0,1,-1). O plano pi deve conter a reta AB, cujo vetor diretor é
v = B - A = (-1,0,1)
Para qualquer vetor normal n=(n1,n2,n3) de pi, vale
ncdotv=0 e ncdotn1=0

Passo 3

Escrevendo as condições:
(-1,0,1)cdot(n1,n2,n3) = -n1 + n3 = 0 Longrightarrow n1 = n3,
(0,1,-1)cdot(n1,n2,n3) = n2 - n3 = 0 Longrightarrow n2 = n3
Logo n1 = n2 = n3, e podemos escolher n=(1,1,1).

Passo 4

Com n=(1,1,1) e passando por A=(1,0,0), a equação de pi é
1,(x-1) + 1,(y-0) + 1,(z-0) = 0 Longrightarrow x + y + z = 1

Resposta

A equação do plano é x + y + z = 1.

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