(1,0) Considere a função f(x)=(1+6k x+4)^5 x-1. Sabendo que lim x infty f(x)=e^15, determine o valor de k.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=gl(1+6kx+4gr)^5x-1
e afirma que
limxtoinftyf(x)=e^15.
O conteúdo aqui é o limite do tipo l(1+a(x)r)^b(x) com a(x)to0 e sabemos que, nessas condições,
limxtoinftyl(1+a(x)r)^b(x)=e^limxtoinftya(x),b(x)

Passo 2

Identificamos
a(x)=6kx+4, b(x)=5x-1
Para usar o resultado do passo anterior, precisamos calcular
L=limxtoinftya(x),b(x) =limxtoinfty(5x-1),6kx+4

Passo 3

Vamos simplificar esse limite. Em forma de fração:
L =limxtoinfty30x-6kx+4 =limxtoinfty30-tfrac6xk+tfrac4x =30k

Passo 4

Como limxtoinftyf(x)=e^L e sabemos que esse limite é e^15, deve valer
L=15 Longrightarrow 30k=15 Longrightarrow k=2

Resposta

k=2

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