Nos Exercicios 9 e 10, encontre todos os vetores x em R^4 que sảo transformados no vetor nulo pela aplicação x mapsto A x.
A=[rrrr1 & 3 & 9 & 2 1 & 0 & 3 & -4 0 & 1 & 2 & 3 -2 & 3 & 0 & 5]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os vetores xinR^4 tais que
Ax=0,
ou seja, o núcleo da aplicação linear definida por
A= 1 & 3 & 9 & 2 1 & 0 & 3 & -4 0 & 1 & 2 & 3 -2 & 3 & 0 & 5
Para isso vamos usar eliminação de Gauss no sistema homogêneo Ax=0.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema Ax=0:
[cccc|c 1 & 3 & 9 & 2 & 0 1 & 0 & 3 & -4 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 -2 & 3 & 0 & 5 & 0 ]
Em seguida, escolhemos o pivô na coluna 1 da linha 1 e eliminamos nas linhas 2 e 4.

Passo 3

Após as operações
;R2 R2 - R1,;R4 R4 + 2R1
e dividindo a nova linha 2 por -3, e então usando o pivô em R2 para zerar coluna 2 em R3 e R4, obtemos a forma escalonada
[cccc|c 1 & 0 & 3 & -4 & 0 0 & 1 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -9 & 0 ]

Passo 4

Da forma escalonada tiramos as equações:
x4 = 0, x2 + 2x3 + 2x4 = 0, x1 + 3x3 -4x4 = 0
Como x4=0, segue x2=-2x3 e x1=-3x3. O único parâmetro livre é x3.

Passo 5

Chamando t=x3, ficamos com
x = (x1,x2,x3,x4) = (-3t,,-2t,,t,,0) = t,(-3,,-2,,1,,0)

Resposta

O conjunto de todas as soluções é
l,t(-3,-2,1,0)mid tinRr

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