3.6 Determine if each function
given below is periodic, and if it is, find its fundamental period.
Passo 1
O enunciado dá a função
O que se pede:
- Determinar se
é periódica. - Se for periódica, encontrar o período fundamental.
Vou listar as informações que temos: os dois termos são funções trigonométricas conhecidas (cosseno e seno) cada uma com seu próprio período.
Passo 2
Definição e critério que vou usar (explicado de forma simples).
- Uma função
é periódica se existe tal que
O menor
com essa propriedade é o período fundamental.
- Se
tem período fundamental e tem período fundamental , então a soma só será periódica se existir um que seja múltiplo inteiro de ambos, isto é, existirem inteiros positivos tais que
Isto equivale a dizer que a razão
deve ser um número racional (ou, equivalentemente, que
e
são comensuráveis).
Passo 3
Determinar o período do primeiro termo
.
- Para uma função
o período é . - Aqui
, então
Portanto o período fundamental de
é
.
Passo 4
Determinar o período do segundo termo
.
- Para
o período é também . - Aqui
, então
Portanto o período fundamental de
é
.
Passo 5
Verificar se existe um período comum.
- Se existir
com para inteiros , então
- O lado esquerdo
é racional. Para que a igualdade valesse, teria de ser racional. - Mas
é um número irracional; multiplicando por continua sendo irracional, logo é irracional. - Portanto não existe razões inteiras
que igualem . Conclusão: não existe que seja múltiplo inteiro de ambos e .
Passo 6
Conclusão final e comentário didático.
- Como os períodos fundamentais
e são incommensuráveis (razão irracional), a soma não possui período comum. Logo não é periódica. - Observação prática para a prova: sempre calcule os períodos individuais por
e depois verifique se a razão entre eles é racional; se for irracional, a soma não é periódica.
Resposta
Não é periódica.