3.6 Determine if each function x given below is periodic, and if it is, find its fundamental period.
x(t)=\cos (2 \pi t)+\sin (5 t)

Passo 1

O enunciado dá a função
x(t)=\cos\bigl(2\pi t\bigr)+\sin\bigl(5t\bigr).
O que se pede:
  • Determinar se x(t) é periódica.
  • Se for periódica, encontrar o período fundamental.
Vou listar as informações que temos: os dois termos são funções trigonométricas conhecidas (cosseno e seno) cada uma com seu próprio período.

Passo 2

Definição e critério que vou usar (explicado de forma simples).
  • Uma função f(t) é periódica se existe T>0 tal que
f(t+T)=f(t)\quad\text{para todo }t.
O menor T>0 com essa propriedade é o período fundamental.
  • Se f_1 tem período fundamental T_1 e f_2 tem período fundamental T_2, então a soma f_1+f_2 só será periódica se existir um T>0 que seja múltiplo inteiro de ambos, isto é, existirem inteiros positivos m,n tais que
T=mT_1=nT_2.
Isto equivale a dizer que a razão T_1/T_2 deve ser um número racional (ou, equivalentemente, que T_1 e T_2 são comensuráveis).

Passo 3

Determinar o período do primeiro termo \cos\bigl(2\pi t\bigr).
  • Para uma função \cos(\omega t) o período é T=\dfrac{2\pi}{\omega}.
  • Aqui \omega_1=2\pi, então
T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}=\frac{2\pi}{2\pi}=1.
Portanto o período fundamental de \cos\bigl(2\pi t\bigr) é T_1=1.

Passo 4

Determinar o período do segundo termo \sin\bigl(5t\bigr).
  • Para \sin(\omega t) o período é também T=\dfrac{2\pi}{\omega}.
  • Aqui \omega_2=5, então
T_2=\frac{2\pi}{\omega_2}=\frac{2\pi}{5}.
Portanto o período fundamental de \sin\bigl(5t\bigr) é T_2=\dfrac{2\pi}{5}.

Passo 5

Verificar se existe um período comum.
  • Se existir T>0 com T=mT_1=nT_2 para inteiros m,n>0, então
\frac{m}{n}=\frac{T_2}{T_1}=\frac{\tfrac{2\pi}{5}}{1}=\frac{2\pi}{5}.
  • O lado esquerdo \dfrac{m}{n} é racional. Para que a igualdade valesse, 2\pi/5 teria de ser racional.
  • Mas \pi é um número irracional; multiplicando por 2/5 continua sendo irracional, logo \dfrac{2\pi}{5} é irracional.
  • Portanto não existe razões inteiras m/n que igualem \dfrac{2\pi}{5}. Conclusão: não existe T>0 que seja múltiplo inteiro de ambos T_1 e T_2.

Passo 6

Conclusão final e comentário didático.
  • Como os períodos fundamentais T_1=1 e T_2=\dfrac{2\pi}{5} são incommensuráveis (razão irracional), a soma x(t)=\cos(2\pi t)+\sin(5t) não possui período comum. Logo x(t) não é periódica.
  • Observação prática para a prova: sempre calcule os períodos individuais por T=2\pi/\omega e depois verifique se a razão entre eles é racional; se for irracional, a soma não é periódica.

Resposta

Não é periódica.

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