Faça o gráfico das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado pede: “Faça o gráfico da função” e nos dá a função
Informações claras que já temos:
- A função está definida para todo
(domínio = todos os reais). - O termo
aparece, ou seja a função pode ter comportamento diferente para e .
O próximo passo é transformar isso num formato que dê para esboçar o gráfico facilmente.
Passo 2
Uma técnica útil é usar a definição peça a peça de
. Substituindo:
- Para
vale . Logo:
- Para
vale . Logo:
Observação rápida (útil para o gráfico): percebe-se que
, ou seja,
é uma função par; o gráfico será simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Analise do ramo direito (
):
- Zeros (interseções com o eixo
) em e . - Vértice da parábola: para
o do vértice é . Aqui , , logo
Valor no vértice:
Assim, no ramo direito há um mínimo local (e global nesse ramo) em
.
Passo 4
Analise do ramo esquerdo (
):
- Zeros em
e . - Vértice: com
, ,
Valor no vértice:
Logo no ramo esquerdo há um mínimo em
. Note que os dois vértices têm mesmo valor
, reflexo da paridade da função.
Passo 5
Interceptos e ponto especial:
- Interseção com o eixo
: . Então o ponto . - Interseções com o eixo
: de cima, e . Pontos .
Passo 6
Continuidade e derivabilidade em
:
- A função é contínua em
porque ambos os ramos dão . - Derivadas laterais:
- Para
: . Então . - Para
: . Então .
Como, a função não é diferenciável em (há um “canto” no vértice superior ).
- Para
Passo 7
Monotonicidade (mais didático para desenhar):
- No ramo
: . Zera em . - Para
: (decrescente). - Para
: (crescente).
- Para
- No ramo
: . Zera em . - Para
: (decrescente). - Para
: (crescente).
Conclusão: cada ramo tem um mínimo em(valores ); o ponto é um máximo local no sentido restrito (valor ) entre os pontos próximos e .
- Para
Passo 8
Comportamento extremo e imagem (range):
- Como o coeficiente de
é positivo, . - O menor valor encontrado é
. Portanto a imagem (contradomínio efetivo) é
Passo 9
Pontos essenciais para esboçar (coloque esses pontos e una suavemente, respeitando a simetria):
-
, , , , , , .
Desenho passo a passo:
- Marque os pontos acima no plano.
- Ligue
a a por uma curva de parábola (ramo esquerdo, decresce até e depois cresce até ). - No lado direito, ligue
a a com a parábola correspondente (decresce até e sobe depois). - No entorno de
haverá um canto: o valor em é e as tangentes esquerda/direita não coincidem. - Garanta a simetria em relação ao eixo
.
Resposta
Pontos críticos:
Intervalos de monotonicidade: decrescente em , crescente em
, decrescente em
, crescente em
Imagem: ]
Intervalos de monotonicidade: decrescente em
Imagem: