Faça o gráfico das seguintes funções.
f(x)=x^{2}-4|x|+3

Passo 1

O enunciado pede: “Faça o gráfico da função” e nos dá a função
f(x)=x^{2}-4|x|+3.
Informações claras que já temos:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R} (domínio = todos os reais).
  • O termo |x| aparece, ou seja a função pode ter comportamento diferente para x\ge0 e x<0.
    O próximo passo é transformar isso num formato que dê para esboçar o gráfico facilmente.

Passo 2

Uma técnica útil é usar a definição peça a peça de |x|. Substituindo:
  • Para x\ge0 vale |x|=x. Logo:
f(x)=x^{2}-4x+3\qquad\text{para }x\ge0.
  • Para x<0 vale |x|=-x. Logo:
f(x)=x^{2}+4x+3\qquad\text{para }x<0.
Observação rápida (útil para o gráfico): percebe-se que f(-x)=f(x), ou seja, f é uma função par; o gráfico será simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Analise do ramo direito ( x\ge0):
f(x)=x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
  • Zeros (interseções com o eixo x) em x=1 e x=3.
  • Vértice da parábola: para ax^{2}+bx+c o x do vértice é x_v=-\dfrac{b}{2a}. Aqui a=1, b=-4, logo
x_v=-\dfrac{-4}{2\cdot1}=2.
Valor no vértice:
f(2)=2^{2}-4\cdot2+3=4-8+3=-1.
Assim, no ramo direito há um mínimo local (e global nesse ramo) em (2,-1).

Passo 4

Analise do ramo esquerdo ( x<0):
f(x)=x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3).
  • Zeros em x=-1 e x=-3.
  • Vértice: com a=1, b=4,
x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2}=-2.
Valor no vértice:
f(-2)=(-2)^{2}+4(-2)+3=4-8+3=-1.
Logo no ramo esquerdo há um mínimo em (-2,-1). Note que os dois vértices têm mesmo valor -1, reflexo da paridade da função.

Passo 5

Interceptos e ponto especial:
  • Interseção com o eixo y: f(0)=0^{2}-4|0|+3=3. Então o ponto (0,3).
  • Interseções com o eixo x: de cima, x=\pm1 e x=\pm3. Pontos (-3,0),(-1,0),(1,0),(3,0).

Passo 6

Continuidade e derivabilidade em 0:
  • A função é contínua em 0 porque ambos os ramos dão f(0)=3.
  • Derivadas laterais:
    • Para x>0: f'(x)=2x-4. Então f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}(2x-4)=-4.
    • Para x<0: f'(x)=2x+4. Então f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}(2x+4)=4.
      Como f'_-(0)\ne f'_+(0), a função não é diferenciável em 0 (há um “canto” no vértice superior (0,3)).

Passo 7

Monotonicidade (mais didático para desenhar):
  • No ramo x<0: f'(x)=2x+4. Zera em x=-2.
    • Para x<-2: f'(x)<0 (decrescente).
    • Para -2<x<0: f'(x)>0 (crescente).
  • No ramo x>0: f'(x)=2x-4. Zera em x=2.
    • Para 0<x<2: f'(x)<0 (decrescente).
    • Para x>2: f'(x)>0 (crescente).
      Conclusão: cada ramo tem um mínimo em x=\pm2 (valores -1); o ponto x=0 é um máximo local no sentido restrito (valor 3) entre os pontos próximos -\!1 e 1.

Passo 8

Comportamento extremo e imagem (range):
  • Como o coeficiente de x^{2} é positivo, \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.
  • O menor valor encontrado é f(\pm2)=-1. Portanto a imagem (contradomínio efetivo) é
\text{Im}(f)=[-1,\infty).

Passo 9

Pontos essenciais para esboçar (coloque esses pontos e una suavemente, respeitando a simetria):
  • (-3,0), (-2,-1), (-1,0), (0,3), (1,0), (2,-1), (3,0).
    Desenho passo a passo:
  1. Marque os pontos acima no plano.
  2. Ligue (-3,0) a (-2,-1) a (-1,0) por uma curva de parábola (ramo esquerdo, decresce até -2 e depois cresce até 0).
  3. No lado direito, ligue (1,0) a (2,-1) a (3,0) com a parábola correspondente (decresce até 2 e sobe depois).
  4. No entorno de 0 haverá um canto: o valor em 0 é 3 e as tangentes esquerda/direita não coincidem.
  5. Garanta a simetria em relação ao eixo y.

Resposta

f(x)=\begin{cases} x^{2}-4x+3,& x\ge0,\\[4pt] x^{2}+4x+3,& x<0, \end{cases}
Pontos críticos: (-3,0),(-2,-1),(-1,0),(0,3),(1,0),(2,-1),(3,0)
Intervalos de monotonicidade: decrescente em (-\infty,-2), crescente em (-2,0), decrescente em (0,2), crescente em (2,\infty)
Imagem: [-1,\infty)]

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