Faça o gráfico das seguintes funções. f(x)=-\frac{|x|}{3}+1
Passo 1
O enunciado pede: “Faça o gráfico da função” dada por f(x)=-\dfrac{|x|}{3}+1.
Informações fornecidas:
A fórmula da função é \displaystyle f(x)=-\frac{|x|}{3}+1.
Não há outras restrições explícitas (logo assumir domínio natural da expressão).
O que se precisa obter: uma descrição suficiente e os pontos-chave para desenhar o gráfico (vértice, interceptos, inclinações dos ramos, domínio e imagem).
Passo 2
Entender o que significa o valor absoluto e reescrever a função em forma por partes (isso facilita muito o desenho).
Lembrete sobre valor absoluto: para qualquer x\),
\[|x|= \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Aplicando isso em \displaystyle f(x)=-\frac{|x|}{3}+1\] obtemos a forma por partes:
\[f(x)= \begin{cases} -\dfrac{x}{3}+1, & \text{se } x\ge 0,\\[6pt] -\dfrac{-x}{3}+1=\dfrac{x}{3}+1, & \text{se } x<0. \end{cases}\]
Portanto são duas retas unidas em \(x=0.]
Passo 3
Identificar cada ramo como uma reta (coeficiente angular e intercepto):
Para x\ge 0:
f(x)=-\dfrac{x}{3}+1.
Aqui o coeficiente angular (declive) é -\dfrac{1}{3} e o coeficiente linear (intercepto em y) é 1. Ou seja, ao avançar 1 unidade em x (para a direita) y diminui \dfrac{1}{3}.
Para x<0:
f(x)=\dfrac{x}{3}+1.
Aqui o coeficiente angular é \dfrac{1}{3} e o intercepto em y é também 1. Ao avançar 1 unidade em x (aumentar x) y aumenta \dfrac{1}{3}.
Passo 4
Encontrar o ponto onde os dois ramos se unem (vértice) e o valor de f nesse ponto.
Calcular f(0):
f(0)=-\frac{|0|}{3}+1 = -0 + 1 = 1.
Logo o vértice (ponto de união) é (0,1).
Observação qualitativa: como o coeficiente à frente de |x| é negativo (-\tfrac{1}{3}), o valor de f diminui quando |x| aumenta. Portanto (0,1) é o ponto máximo da função (o pico do “V” invertido).
Passo 5
Calcular interceptos com os eixos.
Intercepto com o eixo y: já temos f(0)=1, então intercepto em y é o ponto (0,1).
Portanto x=3 ou x=-3. Os interceptos em x são (3,0) e (-3,0).
Passo 6
Determinar domínio e imagem (intervalo de valores assumidos por f).
Domínio: a expressão usa |x| e operações polinomiais, então todos os reais são válidos:
\text{Domínio}=\mathbb{R}.
Imagem: o máximo é f(0)=1. Quando |x|\to\infty, o termo -\dfrac{|x|}{3}\to -\infty, logo não há limite inferior; a função atinge todos os valores abaixo de 1. Assim:
\text{Imagem} = (-\infty,\,1].
Passo 7
Montar uma pequena tabela de valores úteis para desenhar o gráfico (pegando valores que já encontramos e alguns intermediários):
Esses pontos confirmam o formato em “V invertido” com vértice em (0,1) e ramos passando por (-3,0) e (3,0).]
Passo 8
Observação sobre simetria e monotonicidade (útil para desenhar rápido):
Simetria: a função é par (mesma saída para x e -x), porque |x| é par. Verificação:
f(-x)=-\frac{|-x|}{3}+1=-\frac{|x|}{3}+1=f(x).
Monotonicidade:
Em (-\infty,0] a função é crescente, pois o coeficiente \tfrac{1}{3} é positivo no ramo esquerdo.
Em [0,\infty) a função é decrescente, pois o coeficiente -\tfrac{1}{3} é negativo no ramo direito.
Passo 9
Instruções passo a passo para desenhar o gráfico à mão (sem calculadora):
Desenhar eixos cartesianos x e y.
Marcar o ponto (0,1) (vértice), e os pontos (-3,0) e (3,0).
Marcar mais alguns pontos da tabela, por exemplo (-1,\tfrac{2}{3}) e (1,\tfrac{2}{3}), (-6,-1) e (6,-1) para garantir a forma.
Traçar uma reta que passe por (-3,0) e (0,1) e continue à esquerda como uma semirreta com inclinação \tfrac{1}{3}.
Traçar uma reta que passe por (0,1) e (3,0) e continue à direita como uma semirreta com inclinação -\tfrac{1}{3}.
Etiquetar os pontos importantes e indicar que o gráfico se estende indefinidamente para baixo (já que a imagem é (-\infty,1]).
Dica rápida para usar a inclinação: a partir de (0,1), para desenhar o ramo direito, descer \tfrac{1}{3} em y ao mover 1 unidade em x à direita; para o ramo esquerdo, subir \tfrac{1}{3} em y ao mover 1 unidade em x à esquerda.