Faça o gráfico das seguintes funções.
f(x)=-\frac{|x|}{3}+1

Passo 1

O enunciado pede: “Faça o gráfico da função” dada por f(x)=-\dfrac{|x|}{3}+1.
Informações fornecidas:
  • A fórmula da função é \displaystyle f(x)=-\frac{|x|}{3}+1.
  • Não há outras restrições explícitas (logo assumir domínio natural da expressão).
O que se precisa obter: uma descrição suficiente e os pontos-chave para desenhar o gráfico (vértice, interceptos, inclinações dos ramos, domínio e imagem).

Passo 2

Entender o que significa o valor absoluto e reescrever a função em forma por partes (isso facilita muito o desenho).
Lembrete sobre valor absoluto: para qualquer x\), \[|x|= \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Aplicando isso em \displaystyle f(x)=-\frac{|x|}{3}+1\] obtemos a forma por partes: \[f(x)= \begin{cases} -\dfrac{x}{3}+1, & \text{se } x\ge 0,\\[6pt] -\dfrac{-x}{3}+1=\dfrac{x}{3}+1, & \text{se } x<0. \end{cases}\] Portanto são duas retas unidas em \(x=0.]

Passo 3

Identificar cada ramo como uma reta (coeficiente angular e intercepto):
Para x\ge 0:
f(x)=-\dfrac{x}{3}+1.
Aqui o coeficiente angular (declive) é -\dfrac{1}{3} e o coeficiente linear (intercepto em y) é 1. Ou seja, ao avançar 1 unidade em x (para a direita) y diminui \dfrac{1}{3}.
Para x<0:
f(x)=\dfrac{x}{3}+1.
Aqui o coeficiente angular é \dfrac{1}{3} e o intercepto em y é também 1. Ao avançar 1 unidade em x (aumentar x) y aumenta \dfrac{1}{3}.

Passo 4

Encontrar o ponto onde os dois ramos se unem (vértice) e o valor de f nesse ponto.
Calcular f(0):
f(0)=-\frac{|0|}{3}+1 = -0 + 1 = 1.
Logo o vértice (ponto de união) é (0,1).
Observação qualitativa: como o coeficiente à frente de |x| é negativo ( -\tfrac{1}{3}), o valor de f diminui quando |x| aumenta. Portanto (0,1) é o ponto máximo da função (o pico do “V” invertido).

Passo 5

Calcular interceptos com os eixos.
Intercepto com o eixo y: já temos f(0)=1, então intercepto em y é o ponto (0,1).
Interceptos com o eixo x (soluções de f(x)=0):
-\frac{|x|}{3}+1=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{|x|}{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad |x|=3.
Portanto x=3 ou x=-3. Os interceptos em x são (3,0) e (-3,0).

Passo 6

Determinar domínio e imagem (intervalo de valores assumidos por f).
Domínio: a expressão usa |x| e operações polinomiais, então todos os reais são válidos:
\text{Domínio}=\mathbb{R}.í
Imagem: o máximo é f(0)=1. Quando |x|\to\infty, o termo -\dfrac{|x|}{3}\to -\infty, logo não há limite inferior; a função atinge todos os valores abaixo de 1. Assim:
\text{Imagem} = (-\infty,\,1].

Passo 7

Montar uma pequena tabela de valores úteis para desenhar o gráfico (pegando valores que já encontramos e alguns intermediários):
Calcule para x=-6,-3,-1,0,1,3,6:
\begin{aligned} f(-6)&=\frac{-6}{3}+1=-2+1=-1,\\[4pt] f(-3)&=\frac{-3}{3}+1=-1+1=0,\\[4pt] f(-1)&=\frac{-1}{3}+1=-\tfrac{1}{3}+1=\tfrac{2}{3},\\[4pt] f(0)&=1,\\[4pt] f(1)&=-\frac{1}{3}+1=\tfrac{2}{3},\\[4pt] f(3)&=-\frac{3}{3}+1=-1+1=0,\\[4pt] f(6)&=-\frac{6}{3}+1=-2+1=-1. \end{aligned}
Esses pontos confirmam o formato em “V invertido” com vértice em (0,1) e ramos passando por (-3,0) e (3,0).]

Passo 8

Observação sobre simetria e monotonicidade (útil para desenhar rápido):
Simetria: a função é par (mesma saída para x e -x), porque |x| é par. Verificação:
f(-x)=-\frac{|-x|}{3}+1=-\frac{|x|}{3}+1=f(x).
Monotonicidade:
  • Em (-\infty,0] a função é crescente, pois o coeficiente \tfrac{1}{3} é positivo no ramo esquerdo.
  • Em [0,\infty) a função é decrescente, pois o coeficiente -\tfrac{1}{3} é negativo no ramo direito.

Passo 9

Instruções passo a passo para desenhar o gráfico à mão (sem calculadora):
  1. Desenhar eixos cartesianos x e y.
  2. Marcar o ponto (0,1) (vértice), e os pontos (-3,0) e (3,0).
  3. Marcar mais alguns pontos da tabela, por exemplo (-1,\tfrac{2}{3}) e (1,\tfrac{2}{3}), (-6,-1) e (6,-1) para garantir a forma.
  4. Traçar uma reta que passe por (-3,0) e (0,1) e continue à esquerda como uma semirreta com inclinação \tfrac{1}{3}.
  5. Traçar uma reta que passe por (0,1) e (3,0) e continue à direita como uma semirreta com inclinação -\tfrac{1}{3}.
  6. Etiquetar os pontos importantes e indicar que o gráfico se estende indefinidamente para baixo (já que a imagem é (-\infty,1]).
Dica rápida para usar a inclinação: a partir de (0,1), para desenhar o ramo direito, descer \tfrac{1}{3} em y ao mover 1 unidade em x à direita; para o ramo esquerdo, subir \tfrac{1}{3} em y ao mover 1 unidade em x à esquerda.

Resposta

\displaystyle f(x)=\begin{cases} -\dfrac{x}{3}+1,&x\ge 0,\\[6pt] \dfrac{x}{3}+1,&x<0, \end{cases}
Vértice: (0,1)
Interceptos em x: (-3,0) e (3,0)
Intercepto em y: (0,1)
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-\infty,\,1]
Simetria: função par ( f(-x)=f(x))
Monotonicidade: crescente em (-\infty,0] e decrescente em [0,\infty)]

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