3.6 Determine if each function
given below is periodic, and if it is, find its fundamental period.
Passo 1
Enunciado (interpretado): a função dada é
. O que se pede:
- Determinar se
é periódica. - Se for periódica, encontrar o período fundamental.
Informações fornecidas (peguei diretamente do enunciado, interpretando o expoente como uma unidade imaginária
):
- Primeiro termo tem frequência angular
. - Segundo termo tem frequência angular
.
Passo 2
Conceito-chave (aula curta): quando uma única exponencial complexa
é periódica e qual seu período fundamental.
- A função
satisfaz
- A condição
é equivalente a
para algum inteiro
. Portanto valores de
que funcionam são
- O menor
(período fundamental) ocorre para , desde que . Assim o período fundamental de é
(Dica: sempre escreva a condição
e escolha
para obter o menor período positivo.)
Passo 3
Aplicando isso aos termos da soma:
- Para o primeiro termo
: aqui . Então o período fundamental é
- Para o segundo termo
: aqui . Então o período fundamental é
Expliquei passo a passo: calculei
para cada termo.
Passo 4
Critério para soma de sinais: a soma de duas funções periódicas com períodos
e
é periódica se existir um
tal que
seja múltiplo inteiro de ambos, isto é,
para alguns inteiros positivos
. O menor
com essa propriedade é o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de
e
.
Vamos verificar se existe tal
e achar o menor.
Passo 5
Calculando o m.m.c. de
e
.
- Escrevendo as frações com denominador comum:
e . - Queremos inteiros
tais que . - Multiplicando por
: . Para que isso ocorra com inteiros mínimos, escolha e (menores inteiros positivos que satisfazem a igualdade). - Então o menor
é
e também
. Portanto existe um período comum e o menor positivo é
.
(Verificação direta:
porque adiciona
ao expoente; e
porque
.)
Passo 6
Conclusão didática e reforço: como
é uma razão racional, a soma é periódica. O período fundamental da soma é o menor
que é múltiplo inteiro de
e
, que encontramos ser
.
Observação útil (caso a expressão tivesse sido interpretada sem a unidade imaginária): se os expoentes fossem reais (por exemplo
com
), tais exponenciais reais não são periódicas. Só as exponenciais complexas da forma
são periódicas no sentido oscilatório. Mas aqui consideramos a interpretação padrão em sinais:
no expoente.
Resposta
Periódica com período fundamental
.