3.6 Determine if each function x given below is periodic, and if it is, find its fundamental period.
x(t)=e^{/ 2 \pi t}+e^{/ 3 \pi t}

Passo 1

Enunciado (interpretado): a função dada é \displaystyle x(t)=e^{j\,2\pi t}+e^{j\,3\pi t}. O que se pede:
  • Determinar se x(t) é periódica.
  • Se for periódica, encontrar o período fundamental.
Informações fornecidas (peguei diretamente do enunciado, interpretando o expoente como uma unidade imaginária j):
  • Primeiro termo tem frequência angular \omega_1 = 2\pi.
  • Segundo termo tem frequência angular \omega_2 = 3\pi.

Passo 2

Conceito-chave (aula curta): quando uma única exponencial complexa \displaystyle e^{j\omega t} é periódica e qual seu período fundamental.
  • A função \displaystyle e^{j\omega t} satisfaz
e^{j\omega(t+T)}=e^{j\omega t}\quad\Longleftrightarrow\quad e^{j\omega T}=1.
  • A condição e^{j\omega T}=1 é equivalente a
\omega T = 2\pi m
para algum inteiro m. Portanto valores de T que funcionam são
T = \frac{2\pi m}{\omega},\quad m\in\mathbb{Z}.
  • O menor T>0 (período fundamental) ocorre para m=1, desde que \omega\neq 0. Assim o período fundamental de \displaystyle e^{j\omega t} é
T_0=\frac{2\pi}{|\omega|}.
(Dica: sempre escreva a condição \omega T = 2\pi m e escolha m=1 para obter o menor período positivo.)

Passo 3

Aplicando isso aos termos da soma:
  • Para o primeiro termo \displaystyle e^{j\,2\pi t}: aqui \omega_1=2\pi. Então o período fundamental é
T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}=\frac{2\pi}{2\pi}=1.
  • Para o segundo termo \displaystyle e^{j\,3\pi t}: aqui \omega_2=3\pi. Então o período fundamental é
T_2=\frac{2\pi}{\omega_2}=\frac{2\pi}{3\pi}=\frac{2}{3}.
Expliquei passo a passo: calculei T_i=2\pi/\omega_i para cada termo.

Passo 4

Critério para soma de sinais: a soma de duas funções periódicas com períodos T_1 e T_2 é periódica se existir um T>0 tal que T seja múltiplo inteiro de ambos, isto é,
T = n_1 T_1 = n_2 T_2
para alguns inteiros positivos n_1,n_2. O menor T com essa propriedade é o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de T_1 e T_2.
Vamos verificar se existe tal T e achar o menor.

Passo 5

Calculando o m.m.c. de T_1=1 e T_2=\dfrac{2}{3}.
  • Escrevendo as frações com denominador comum: T_1=1=\dfrac{3}{3} e T_2=\dfrac{2}{3}.
  • Queremos inteiros n_1,n_2>0 tais que n_1\cdot 1 = n_2\cdot \dfrac{2}{3}.
  • Multiplicando por 3: 3n_1 = 2 n_2. Para que isso ocorra com inteiros mínimos, escolha n_1=2 e n_2=3 (menores inteiros positivos que satisfazem a igualdade).
  • Então o menor T é
T = n_1 T_1 = 2\cdot 1 = 2,
e também T = n_2 T_2 = 3\cdot \dfrac{2}{3} = 2. Portanto existe um período comum e o menor positivo é T=2.
(Verificação direta: \displaystyle e^{j2\pi(t+2)}=e^{j2\pi t} porque adiciona j4\pi ao expoente; e \displaystyle e^{j3\pi(t+2)}=e^{j3\pi t}e^{j6\pi}=e^{j3\pi t} porque e^{j6\pi}=1.)

Passo 6

Conclusão didática e reforço: como T_1/T_2 = \dfrac{1}{2/3}=\dfrac{3}{2} é uma razão racional, a soma é periódica. O período fundamental da soma é o menor T>0 que é múltiplo inteiro de T_1 e T_2, que encontramos ser T=2.
Observação útil (caso a expressão tivesse sido interpretada sem a unidade imaginária): se os expoentes fossem reais (por exemplo \displaystyle e^{a t} com a\neq 0), tais exponenciais reais não são periódicas. Só as exponenciais complexas da forma \displaystyle e^{j\omega t} são periódicas no sentido oscilatório. Mas aqui consideramos a interpretação padrão em sinais: j no expoente.

Resposta

Periódica com período fundamental T=2.

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