3.6 Determine if each function x given below is periodic, and if it is, find its fundamental period.
x(t)=\cos (e t)+\sin (42 t)

Passo 1

O enunciado dá a função
x(t)=\cos(e t)+\sin(42 t)
e pede duas coisas:
  • Determinar se x(t) é periódica.
  • Se for periódica, encontrar o período fundamental.
Informações relevantes dadas:
  • A função é soma de duas funções trigonométricas: \cos(e t) e \sin(42 t).
  • O número e aparece como fator em \cos(e t) (aqui e é a constante de Euler, aproximadamente 2,71828\ldots).

Passo 2

Definição e ideia principal (passo-a-passo explicado):
  • Uma função f é periódica se existe um número T>0 tal que
f(t+T)=f(t)\quad\text{para todo }t.
O menor T>0 com essa propriedade é o período fundamental de f.
  • Para funções trigonométricas do tipo \cos(\omega t) ou \sin(\omega t), a fórmula do período é simples: o período é o tempo que faz o argumento aumentar de 2\pi. Assim, para \cos(\omega t) ou \sin(\omega t) vale
\text{o período }T=\frac{2\pi}{\omega},í
onde \omega é a frequência angular (o número multiplicando t). Aqui é importante entender:
  • \omega representa quantos “rad/s” o argumento gira.
  • Se o argumento avança \omega T em tempo T, queremos \omega T=2\pi para completar um ciclo, daí T=2\pi/\omega.

Passo 3

Calcular os períodos das parcelas:
  • Para \cos(e t): a frequência angular é \omega_1=e. Portanto seu período é
T_1=\frac{2\pi}{e}.
  • Para \sin(42 t): a frequência angular é \omega_2=42. Portanto seu período é
T_2=\frac{2\pi}{42}=\frac{\pi}{21}.

Passo 4

Quando a soma de duas funções periódicas é periódica?
  • Se f tem período T_1 e g tem período T_2, então f+g terá um período comum T se existir T>0 tal que T seja múltiplo inteiro de ambos T_1 e T_2, isto é, existam inteiros positivos n_1,n_2 com
T=n_1 T_1 = n_2 T_2.
  • Isso é equivalente a dizer que a razão T_1/T_2 deve ser um número racional (pois T_1/T_2 = n_2/n_1). Se T_1/T_2 for irracional, não existe um múltiplo inteiro comum e a soma não pode ter período.

Passo 5

Aplicar a condição ao nosso caso:
  • A razão dos períodos é
\frac{T_1}{T_2}=\frac{\tfrac{2\pi}{e}}{\tfrac{\pi}{21}}=\frac{2\pi}{e}\cdot\frac{21}{\pi}=\frac{42}{e}.
  • Para que x(t) fosse periódica seria necessário que \dfrac{42}{e} fosse racional. Isso implicaria que e fosse racional (pois e=42\cdot (racional) seria racional).

Passo 6

Por que e não é racional (prova curta e didática):
  • É um fato clássico que e é irracional. Aqui vai uma prova curta por contradição (muito utilizada e acessível):
    • Suponha que e=\dfrac{p}{q} com inteiros positivos p,q.
    • Lembrando que e=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}, multiplique por q!:
    q!\,e = q!\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = \underbrace{\sum_{n=0}^{q}\frac{q!}{n!}}_{\text{inteiro}} \;+\; \underbrace{\sum_{n=q+1}^{\infty}\frac{q!}{n!}}_{R}.
    • Para n\le q cada \dfrac{q!}{n!} é inteiro, então a primeira soma é um inteiro. Mostraremos que 0<R<1, o que dá contradição se q!e fosse inteiro.
    • Para n\ge q+1 tem-se
    \frac{q!}{n!}=\frac{1}{(q+1)(q+2)\cdots n}\le \frac{1}{(q+1)^{\,n-(q)}}.Assim R=\sum_{n=q+1}^{\infty}\frac{q!}{n!}\le \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(q+1)^k}=\frac{1/(q+1)}{1-1/(q+1)}=\frac{1}{q}.Logo 0<R\le\frac{1}{q}<1.
    • Portanto q!e é um inteiro mais um número R com 0<R<1, logo não é inteiro — contradição com e=\tfrac{p}{q} que faria q!e inteiro. Conclui-se que e não é racional.
  • Como e é irracional, \dfrac{42}{e} também é irracional (divisão de número racional não nulo por número irracional é irracional). Portanto \dfrac{T_1}{T_2}=\dfrac{42}{e} é irracional.

Passo 7

Conclusão final do raciocínio:
  • A razão dos períodos T_1/T_2 é irracional, logo não existe múltiplo inteiro comum dos períodos das parcelas. Portanto não existe período comum T>0 tal que x(t+T)=x(t) para todo t.
  • Logo x(t) NÃO é periódica.

Resposta

A função x(t)=\cos(e t)+\sin(42 t) não é periódica.

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