3.6 Determine if each function x given below is periodic, and if it is, find its fundamental period. x(t)=\cos (e t)+\sin (42 t)
Passo 1
O enunciado dá a função
x(t)=\cos(e t)+\sin(42 t)
e pede duas coisas:
Determinar se x(t) é periódica.
Se for periódica, encontrar o período fundamental.
Informações relevantes dadas:
A função é soma de duas funções trigonométricas: \cos(e t) e \sin(42 t).
O número e aparece como fator em \cos(e t) (aqui e é a constante de Euler, aproximadamente 2,71828\ldots).
Passo 2
Definição e ideia principal (passo-a-passo explicado):
Uma função f é periódica se existe um número T>0 tal que
f(t+T)=f(t)\quad\text{para todo }t.
O menor T>0 com essa propriedade é o período fundamental de f.
Para funções trigonométricas do tipo \cos(\omega t) ou \sin(\omega t), a fórmula do período é simples: o período é o tempo que faz o argumento aumentar de 2\pi. Assim, para \cos(\omega t) ou \sin(\omega t) vale
\text{o período }T=\frac{2\pi}{\omega},
onde \omega é a frequência angular (o número multiplicando t). Aqui é importante entender:
\omega representa quantos “rad/s” o argumento gira.
Se o argumento avança \omega T em tempo T, queremos \omega T=2\pi para completar um ciclo, daí T=2\pi/\omega.
Passo 3
Calcular os períodos das parcelas:
Para \cos(e t): a frequência angular é \omega_1=e. Portanto seu período é
T_1=\frac{2\pi}{e}.
Para \sin(42 t): a frequência angular é \omega_2=42. Portanto seu período é
T_2=\frac{2\pi}{42}=\frac{\pi}{21}.
Passo 4
Quando a soma de duas funções periódicas é periódica?
Se f tem período T_1 e g tem período T_2, então f+g terá um período comum T se existir T>0 tal que T seja múltiplo inteiro de ambos T_1 e T_2, isto é, existam inteiros positivos n_1,n_2 com
T=n_1 T_1 = n_2 T_2.
Isso é equivalente a dizer que a razão T_1/T_2 deve ser um número racional (pois T_1/T_2 = n_2/n_1). Se T_1/T_2 for irracional, não existe um múltiplo inteiro comum e a soma não pode ter período.
Para que x(t) fosse periódica seria necessário que \dfrac{42}{e} fosse racional. Isso implicaria que e fosse racional (pois e=42\cdot (racional) seria racional).
Passo 6
Por que e não é racional (prova curta e didática):
É um fato clássico que e é irracional. Aqui vai uma prova curta por contradição (muito utilizada e acessível):
Suponha que e=\dfrac{p}{q} com inteiros positivos p,q.
Lembrando que e=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}, multiplique por q!:
Portanto q!e é um inteiro mais um número R com 0<R<1, logo não é inteiro — contradição com e=\tfrac{p}{q} que faria q!e inteiro. Conclui-se que e não é racional.
Como e é irracional, \dfrac{42}{e} também é irracional (divisão de número racional não nulo por número irracional é irracional). Portanto \dfrac{T_1}{T_2}=\dfrac{42}{e} é irracional.
Passo 7
Conclusão final do raciocínio:
A razão dos períodos T_1/T_2 é irracional, logo não existe múltiplo inteiro comum dos períodos das parcelas. Portanto não existe período comum T>0 tal que x(t+T)=x(t) para todo t.
Logo x(t) NÃO é periódica.
Resposta
A função x(t)=\cos(e t)+\sin(42 t) não é periódica.