3.6 Determine if each function
given below is periodic, and if it is, find its fundamental period.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é periódica e, se for, determinar o período fundamental. As informações dadas são:
é periódica e, se for, determinar o período fundamental. As informações dadas são:
- Primeiro termo: frequência angular
e fase . - Segundo termo: frequência angular
e fase .
Passo 2
Definição útil (explicada): uma função
é periódica se existe
tal que
para todo
. O menor
que satisfaz isso é o período fundamental.
Passo 3
Propriedade das cossenos (explicação didática): para a função
a fase
desloca a curva no tempo, mas não altera o período. Isso porque
sempre que for múltiplo de
. Logo os períodos possíveis são
com
. O menor
é
.
sempre que
Passo 4
Calcular os períodos individuais (passo por passo):
- Período do primeiro cosseno:
- Período do segundo cosseno:
Passo 5
Condição para a soma ser periódica (explicação): a soma de duas funções periódicas é periódica se existir um
que seja múltiplo de ambos os períodos individuais. Em termos das frequências angulares
, isso equivale existir inteiros
tais que
Dividindo as duas equações obtemos
Portanto a razão
precisa ser racional; se for, escolhemos
os menores inteiros positivos na mesma razão e obtemos o período fundamental.
Passo 6
Aplicando ao caso concreto: calcular a razão das frequências
já em termos irreduzíveis. Como a razão é racional, a soma é periódica. Os menores inteiros
com
são
e
.
Passo 7
Calcular o período fundamental a partir de
e
(ou a partir de
e
):
Verificação alternativa:
mesmo resultado. Observação adicional: como
, outra forma curta é
.
Passo 8
Resumo didático e incentivo: portanto a soma é periódica porque as frequências angulares têm razão racional (
). A fase não muda o período, só desloca no tempo. Concentre-se em procurar a menor combinação inteira
que satisfaça
; isso dá direto o período fundamental. Vai dar certo na prova — respira fundo e confia no método!
Resposta
Sim.