3.6 Determine if each function x given below is periodic, and if it is, find its fundamental period.
x(t)=\cos (14 t-1)+\cos (77 t-3)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
x(t)=\cos(14t-1)+\cos(77t-3)
é periódica e, se for, determinar o período fundamental. As informações dadas são:
  • Primeiro termo: frequência angular \omega_1=14 e fase -1.
  • Segundo termo: frequência angular \omega_2=77 e fase -3.

Passo 2

Definição útil (explicada): uma função f(t) é periódica se existe T>0 tal que
f(t+T)=f(t) para todo t. O menor T>0 que satisfaz isso é o período fundamental.

Passo 3

Propriedade das cossenos (explicação didática): para a função \cos(\omega t+\varphi) a fase \varphi desloca a curva no tempo, mas não altera o período. Isso porque
\cos(\omega(t+T)+\varphi)=\cos(\omega t+\varphi)
sempre que \omega T for múltiplo de 2\pi. Logo os períodos possíveis são
T=\dfrac{2\pi k}{\omega} com k\in\mathbb{Z}. O menor T>0 é T=\dfrac{2\pi}{\omega}.

Passo 4

Calcular os períodos individuais (passo por passo):
  • Período do primeiro cosseno:
T_1=\dfrac{2\pi}{\omega_1}=\dfrac{2\pi}{14}=\dfrac{\pi}{7}.
  • Período do segundo cosseno:
T_2=\dfrac{2\pi}{\omega_2}=\dfrac{2\pi}{77}.

Passo 5

Condição para a soma ser periódica (explicação): a soma de duas funções periódicas é periódica se existir um T>0 que seja múltiplo de ambos os períodos individuais. Em termos das frequências angulares \omega_1,\omega_2, isso equivale existir inteiros m,n tais que
\omega_1 T=2\pi m,\qquad \omega_2 T=2\pi n.
Dividindo as duas equações obtemos
\frac{m}{n}=\frac{\omega_1}{\omega_2}.
Portanto a razão \dfrac{\omega_1}{\omega_2} precisa ser racional; se for, escolhemos m,n os menores inteiros positivos na mesma razão e obtemos o período fundamental.

Passo 6

Aplicando ao caso concreto: calcular a razão das frequências
\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{14}{77}=\frac{2}{11},
já em termos irreduzíveis. Como a razão é racional, a soma é periódica. Os menores inteiros m,n com m/n=2/11 são m=2 e n=11.

Passo 7

Calcular o período fundamental a partir de m e \omega_1 (ou a partir de n e \omega_2):
T_0=\frac{2\pi m}{\omega_1}=\frac{2\pi\cdot 2}{14}=\frac{4\pi}{14}=\frac{2\pi}{7}.
Verificação alternativa:
T_0=\frac{2\pi n}{\omega_2}=\frac{2\pi\cdot 11}{77}=\frac{22\pi}{77}=\frac{2\pi}{7},
mesmo resultado. Observação adicional: como \gcd(14,77)=7, outra forma curta é T_0=\dfrac{2\pi}{\gcd(\omega_1,\omega_2)}=\dfrac{2\pi}{7}.

Passo 8

Resumo didático e incentivo: portanto a soma é periódica porque as frequências angulares têm razão racional ( 2/11). A fase não muda o período, só desloca no tempo. Concentre-se em procurar a menor combinação inteira m,n que satisfaça \omega_1/\omega_2=m/n; isso dá direto o período fundamental. Vai dar certo na prova — respira fundo e confia no método!

Resposta

Sim. T_0=\dfrac{2\pi}{7}

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