Determine if sumn=1^infty 1n raiz1+ln n converges or not. Justify your answer.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^infty 1nraiz1+ln n converge ou diverge. O conteúdo principal é o teste da integral para séries, usando substituições para avaliar o comportamento de termos que envolvem logaritmos.

Passo 2

Para aplicar o teste da integral, definimos a função associada ao termo geral da série: f(x)=1xraiz1+ln x Observamos que f(x) é positiva e decrescente para todo x>=3, pois à medida que x cresce, tanto x quanto ln x aumentam, elevando o denominador.
Aplicamos o teste da integral considerando integral2^inftydxxraiz1+ln x

Passo 3

Fazemos a substituição u=1+ln x, de onde du=dxx. Assim, os limites de integração se tornam u(2)=1+ln2 até u(N)=1+ln N, e a integral vira: integral1+ln2^1+ln Nu^-tfrac12,du=2l(raiz1+ln N-raiz1+ln2r)

Passo 4

Ao deixar Ntoinfty, o termo raiz1+ln N cresce sem limite, fazendo a integral divergir. Pelo teste da integral, se a integral de f(x) diverge, então a série sum an também diverge.

Resposta

A série diverge.

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