Determine if
converges or not. Justify your answer.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. O conteúdo principal é o teste da integral para séries, usando substituições para avaliar o comportamento de termos que envolvem logaritmos.
Passo 2
Para aplicar o teste da integral, definimos a função associada ao termo geral da série:
Observamos que
é positiva e decrescente para todo
, pois à medida que
cresce, tanto
quanto
aumentam, elevando o denominador.
Aplicamos o teste da integral considerando
Passo 3
Fazemos a substituição
, de onde
. Assim, os limites de integração se tornam
até
, e a integral vira:
Passo 4
Ao deixar
, o termo
cresce sem limite, fazendo a integral divergir. Pelo teste da integral, se a integral de
diverge, então a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.