Determine the 3rd degree Taylor Polynomial for cos x at a=pi4
Hint: use Taylor formula

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o polinômio de Taylor de grau 3 de cos x em torno de a=pi4. Esse conteúdo faz parte de séries de Taylor e vamos usar a fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem 3.

Passo 2

A fórmula de Taylor de ordem 3 para uma função f em torno de x=a é
P3(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)2!(x-a)^2+f'''(a)3!(x-a)^3

Passo 3

Vamos calcular f(x)=cos x e suas derivadas até a terceira ordem, e depois avaliar em x=a=tfracpi4:
  1. f(x)=cos x
  2. f'(x)=-sin x
  3. f''(x)=-cos x
  4. f'''(x)=sin x
Agora, em x=pi4:
fl(tfracpi4r)=raiz22, f'l(tfracpi4r)=-raiz22, f''l(tfracpi4r)=-raiz22, f'''l(tfracpi4r)=raiz22

Passo 4

Substituindo esses valores em P3(x):
P3(x)=raiz22+l(-raiz22r)(x-tfracpi4)+-tfracraiz222!(x-tfracpi4)^2+tfracraiz223!(x-tfracpi4)^3
Simplificando os coeficientes: -tfracraiz222= -tfracraiz24 e tfracraiz226=tfracraiz212.
Finalmente, o polinômio de Taylor de grau 3 fica:
P3(x)=raiz22+l(-raiz22r)(x-tfracpi4)-raiz24(x-tfracpi4)^2+raiz212(x-tfracpi4)^3

Resposta

P3(x)=raiz22-raiz22l(x-tfracpi4r)-raiz24l(x-tfracpi4r)^2+raiz212l(x-tfracpi4r)^3

Exercícios relacionados