Integrate the followings as a power series. State the radius of convergence
integral ln (1+3 x)x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida integral ln(1+3x)x ,dx, desenvolvendo em série de potências. Vamos usar a expansão de Taylor de ln(1+u) e integrar termo a termo.

Passo 2

Sabemos que para |u|<1 vale a série
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n-1u^nn

Passo 3

Fazendo u=3x obtemos para |x|<1/3
ln(1+3x)=sumn=1^infty(-1)^n-1(3x)^nn=sumn=1^infty(-1)^n-13^n x^nn

Passo 4

Dividindo por x vemos que
ln(1+3x)x=sumn=1^infty(-1)^n-13^n x^n-1n

Passo 5

Integramos termo a termo usando integral x^n-1dx=tfracx^nn:
integralln(1+3x)xdx=sumn=1^infty(-1)^n-13^nncdotx^nn+C =sumn=1^infty(-1)^n-13^n x^nn^2+C

Passo 6

O raio de convergência segue de |3x|<1, logo R=tfrac13.

Resposta

sumn=1^infty(-1)^n-13^n x^nn^2+C, com raio de convergência R=1/3.

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