Determine if sumn=1^infty cos ^3(1n) converges or not. Justify your answer.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série sumn=1^infty cos^3l(1/nr) converge ou diverge. O conteúdo envolvido é séries numéricas e, em particular, usaremos o teste da divergência (teste do termo geral).

Passo 2

Para aplicar o teste da divergência, calculamos o limite do termo geral an = cos^3l(1/nr) quando n to infty. Como 1/n to 0, temos
limn to infty cos^3l(1/nr) = cos^3(0) = 1

Passo 3

O teste da divergência diz que, se limntoinfty an neq 0, então a série sum an diverge. Aqui o limite é 1 e não 0, portanto a condição de convergência não é atendida.

Passo 4

Concluímos que, pelo teste da divergência, a série não converge, ou seja, ela diverge.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero (limite igual a 1).

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