Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
  1. integralpi^2 pi csc ^2(theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo. A questão pede para calcular a integral definida de csc^2(theta) de pi a 2pi. Para isso, precisamos saber como integrar a função csc^2(theta) e aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que csc(theta) é a função cosecante, que é igual a 1/sin(theta). Então, csc^2(theta) = 1/sin^2(theta). A integral que temos é:
integralpi^2pi csc^2(theta) , dtheta

Passo 3

Agora, precisamos descobrir a antiderivada de csc^2(theta). Sabemos que a derivada de -cot(theta) é csc^2(theta). Portanto, a antiderivada de csc^2(theta) é:
-cot(theta) + C
onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos fazendo uma integral definida.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, vamos calcular o valor da antiderivada nos limites superiores e inferiores e depois fazer a subtração:
[ -cot(theta) ]pi^2pi = -cot(2pi) - ( -cot(pi) ) = -cot(2pi) + cot(pi)

Passo 5

Agora, precisamos calcular cot(2pi) e cot(pi). Lembrando que cot(theta) = cos(theta)/sin(theta):
  • cot(pi) = cos(pi)sin(pi) = -10 → aqui temos uma indeterminação, mas sabemos que cot(pi) tende a infinito negativo.
  • cot(2pi) = cos(2pi)sin(2pi) = 10 → aqui também temos uma indeterminação, mas cot(2pi) tende a infinito positivo.

Passo 6

Observando os limites, percebemos que tanto cot(pi) quanto cot(2pi) não estão definidos porque a função csc^2(theta) tem assíntotas verticais nesses pontos. Isso significa que a integral não converge, ou seja, ela não existe devido à descontinuidade nos limites de integração.

Resposta

A integral integralpi^2pi csc^2(theta) , dtheta não existe porque a função csc^2(theta) é descontínua nos limites de integração, tornando a integral divergente.

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