Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
-
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo. A questão pede para calcular a integral definida de
de
a
. Para isso, precisamos saber como integrar a função
e aplicar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a função cosecante, que é igual a
. Então,
. A integral que temos é:
Passo 3
Agora, precisamos descobrir a antiderivada de
. Sabemos que a derivada de
é
. Portanto, a antiderivada de
é:
onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos fazendo uma integral definida.
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, vamos calcular o valor da antiderivada nos limites superiores e inferiores e depois fazer a subtração:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
e
. Lembrando que
:
-
→ aqui temos uma indeterminação, mas sabemos que tende a infinito negativo. -
→ aqui também temos uma indeterminação, mas tende a infinito positivo.
Passo 6
Observando os limites, percebemos que tanto
quanto
não estão definidos porque a função
tem assíntotas verticais nesses pontos. Isso significa que a integral não converge, ou seja, ela não existe devido à descontinuidade nos limites de integração.
Resposta
A integral
não existe porque a função
é descontínua nos limites de integração, tornando a integral divergente.