Fazer o esboço e calcular a área delimitada pelas curvas y=ln x, y=-x+1 e x=3.

Passo 1

O problema pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas y=ln x, y=-x+1 e pela reta vertical x=3. O conteúdo principal é cálculo de área por integração: vamos achar onde as curvas se intersectam, identificar qual delas fica por cima no intervalo e montar a integral da diferença.

Passo 2

Para achar o ponto de interseção entre y=ln x e y=-x+1, resolvemos:
ln x = -x + 1
que equivale a
ln x + x - 1 = 0
Note que a função f(x)=ln x + x - 1 tem f'(x)=1/x+1>0 para x>0, logo é estritamente crescente e tem raiz única em x=1 (pois ln1+1-1=0). Assim, o ponto de interseção é (1,0).

Passo 3

Para esboçar a região e entender quem está por cima, observe em x=2:
ln2approx0,693 e -2+1=-1, ou seja, ln x fica acima de -x+1 em [1,3]. O lado direito é fechado por x=3. No esboço devemos marcar os pontos (1,0), (3,ln3) e (3,-2), desenhar a curva ln x subindo lentamente, a reta -x+1 decaindo e a reta vertical x=3.

Passo 4

Montamos a integral da área como diferença entre a função de cima e a de baixo:
A=integral1^3l(ln x-(-x+1)r),dx=integral1^3(ln x+x-1),dx

Passo 5

Para calcular, usamos primitivas conhecidas:
integralln x,dx=xln x - x, integral x,dx=tfracx^22, integral1,dx=x
Logo uma primitiva de ln x + x -1 é
F(x)=xln x - x + tfracx^22 - x = xln x + tfracx^22 - 2x
Portanto,
A=F(3)-F(1)=l(3ln3+tfrac92-6r)-l(0+tfrac12-2r)=3ln3

Resposta

3ln3

Exercícios relacionados