Fazer o esboço e calcular a área delimitada pelas curvas
.
Passo 1
O problema pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
,
e pela reta vertical
. O conteúdo principal é cálculo de área por integração: vamos achar onde as curvas se intersectam, identificar qual delas fica por cima no intervalo e montar a integral da diferença.
Passo 2
Para achar o ponto de interseção entre
e
, resolvemos:
que equivale a
Note que a função
tem
para
, logo é estritamente crescente e tem raiz única em
(pois
). Assim, o ponto de interseção é
.
Passo 3
Para esboçar a região e entender quem está por cima, observe em
:
e
, ou seja,
fica acima de
em
. O lado direito é fechado por
. No esboço devemos marcar os pontos
,
e
, desenhar a curva
subindo lentamente, a reta
decaindo e a reta vertical
.
Passo 4
Montamos a integral da área como diferença entre a função de cima e a de baixo:
Passo 5
Para calcular, usamos primitivas conhecidas:
Logo uma primitiva de
Portanto,