Determine if
converges or not. Justify your answer.
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para determinar se a série
converge ou não. Vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente séries alternadas e testes de convergência, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o padrão geral dos termos da série. Observando os numeradores e denominadores:
- Numeradores:
que são potências de 2, ou seja, - Denominadores:
que são fatoriais de números naturais, ou seja,
Portanto, o termo geral da série pode ser escrito como:
O sinal alterna devido ao
.
Passo 3
Agora, para verificar a convergência da série, podemos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma
converge se:
- Os termos
são positivos. - Os termos
são decrescentes: para todo . - O limite dos termos
tende a zero: .
Vamos verificar cada um desses pontos.
Passo 4
Primeiro, identificamos
. Claramente,
para todo
, então o primeiro critério é atendido.
Passo 5
Segundo, devemos verificar se
é decrescente. Observando a razão entre termos consecutivos:
Para
,
, o que implica que
. Portanto,
é decrescente a partir de
.
Passo 6
Terceiro, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso ocorre porque o fatorial
cresce muito mais rapidamente que a exponencial
, fazendo com que a fração tenda a zero.
Passo 7
Como todos os três critérios do Teste da Série Alternada são satisfeitos, podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge.