Determine if 21-42+86-1624+32120-cdots converges or not. Justify your answer.

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para determinar se a série converge ou não. Vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente séries alternadas e testes de convergência, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o padrão geral dos termos da série. Observando os numeradores e denominadores:
  • Numeradores: an = (-1)^n+1 cdot 2^nn! que são potências de 2, ou seja,
  • Denominadores: que são fatoriais de números naturais, ou seja,
Portanto, o termo geral da série pode ser escrito como:
O sinal alterna devido ao .

Passo 3

Agora, para verificar a convergência da série, podemos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. Os termos são decrescentes: para todo .
  3. O limite dos termos tende a zero: .
Vamos verificar cada um desses pontos.

Passo 4

Primeiro, identificamos . Claramente, para todo , então o primeiro critério é atendido.

Passo 5

Segundo, devemos verificar se bn+1bn = 2^n+1/(n+1)!2^n/n! = 2n+1 é decrescente. Observando a razão entre termos consecutivos:
Para , , o que implica que . Portanto, é decrescente a partir de .

Passo 6

Terceiro, calculamos o limite de limn to infty 2^nn! = 0 quando tende ao infinito:
Isso ocorre porque o fatorial cresce muito mais rapidamente que a exponencial , fazendo com que a fração tenda a zero.

Passo 7

Como todos os três critérios do Teste da Série Alternada são satisfeitos, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

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