Determine a imagem do conjunto
sob a função
Passo 1
O enunciado pede: determinar a imagem do conjunto dado pela desigualdade
pela função
Informações fornecidas e o que é pedido:
- O conjunto de partida é o anel (annulus) formado por todos os complexos
tais que . - A função mapeia cada
em com sendo o argumento de no intervalo . - Pede-se o conjunto imagem
.
Passo 2
Entendendo a fórmula e o que cada parte representa (aula curtinha e prática).
- Qualquer número complexo
pode ser escrito em coordenadas polares como , onde é o módulo e é o argumento (ângulo). - A função
dada transforma em
Aqui:
-
é um número real — é a parte real de . -
é um número real no intervalo — é a parte imaginária de .
Assim, o log complex transforma coordenadas polaresem coordenadas cartesianas no plano -imagem com a correspondência
Isso significa: o raio vira a parte real pelo log natural; o ângulo vira a parte imaginária.
Passo 3
Aplicando essa correspondência ao conjunto
.
- Para
no annulus temos satisfazendo . - Aplicando a transformação
, como a função é estritamente crescente em , o intervalo em é levado ao intervalo
- Para o argumento, por hipótese
, portanto a parte imaginária satisfaz
Passo 4
Descrevendo geometricamente e tratando detalhes de borda.
- Cada círculo de raio fixo
(por exemplo ou ) é enviado para uma reta vertical fixa no plano : vai para e vai para . - Cada semirreta de ângulo fixo
(varrendo ) é enviada para uma reta horizontal . - Como os intervalos em
e são fechados e é contínua, a imagem será um retângulo fechado:
Observação sutil (importante na prova): o ponto
e o ponto
representam a mesma direção no plano
(e.g. o eixo real positivo), mas na descrição dada da função eles aparecem como duas linhas horizontais distintas
e
. Como a pergunta pede apenas a imagem do conjunto como subconjunto do plano
, incluímos ambas as bordas horizontais; portanto a imagem é o retângulo fechado acima.
Passo 5
Exemplos concretos para fixar:
- Se
então , que está no retângulo com e . - Se
(real positivo, ) pode-se tomar ou ; com obtemos e com obtemos . Ambos pontos estão na imagem descrita.