Determine a imagem do conjunto 2 \leq|z| \leq 4 sob a função \log (z)=\ln |z|+i \theta, 0 \leq \theta \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede: determinar a imagem do conjunto dado pela desigualdade 2 \leq |z| \leq 4 pela função
\log(z)=\ln|z|+i\theta,\quad 0\le \theta\le 2\pi.
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • O conjunto de partida é o anel (annulus) formado por todos os complexos z tais que 2 \le |z| \le 4.
  • A função mapeia cada z em \log(z)=\ln|z|+i\theta com \theta sendo o argumento de z no intervalo [0,2\pi].
  • Pede-se o conjunto imagem \{\log(z)\colon 2\le|z|\le4\}.

Passo 2

Entendendo a fórmula e o que cada parte representa (aula curtinha e prática).
  • Qualquer número complexo z pode ser escrito em coordenadas polares como z=r e^{i\theta}, onde r=|z|\ge0 é o módulo e \theta é o argumento (ângulo).
  • A função \log dada transforma z=r e^{i\theta} em
\log(z)=\ln r + i\theta.
Aqui:
  • \ln r é um número real — é a parte real de \log(z).
  • \theta é um número real no intervalo [0,2\pi] — é a parte imaginária de \log(z).
    Assim, o log complex transforma coordenadas polares (r,\theta) em coordenadas cartesianas (x,y) no plano \log-imagem com a correspondência
x=\ln r,\qquad y=\theta.
Isso significa: o raio vira a parte real pelo log natural; o ângulo vira a parte imaginária.

Passo 3

Aplicando essa correspondência ao conjunto 2\le|z|\le4.
  • Para z no annulus temos r=|z| satisfazendo 2\le r\le 4.
  • Aplicando a transformação x=\ln r, como a função \ln é estritamente crescente em (0,\infty), o intervalo [2,4] em r é levado ao intervalo
\ln 2 \le x \le \ln 4.
  • Para o argumento, por hipótese \theta\in[0,2\pi], portanto a parte imaginária y satisfaz
0\le y\le 2\pi.

Passo 4

Descrevendo geometricamente e tratando detalhes de borda.
  • Cada círculo de raio fixo r (por exemplo |z|=2 ou |z|=4) é enviado para uma reta vertical fixa no plano w=\log(z): |z|=2 vai para \operatorname{Re}w=\ln 2 e |z|=4 vai para \operatorname{Re}w=\ln 4.
  • Cada semirreta de ângulo fixo \theta (varrendo r) é enviada para uma reta horizontal \operatorname{Im}w=\theta.
  • Como os intervalos em r e \theta são fechados e \ln é contínua, a imagem será um retângulo fechado:
\{w\in\mathbb{C}\colon \ln 2 \le \operatorname{Re}w \le \ln 4,\; 0\le \operatorname{Im}w \le 2\pi\}.
Observação sutil (importante na prova): o ponto \theta=0 e o ponto \theta=2\pi representam a mesma direção no plano z (e.g. o eixo real positivo), mas na descrição dada da função eles aparecem como duas linhas horizontais distintas \operatorname{Im}w=0 e \operatorname{Im}w=2\pi. Como a pergunta pede apenas a imagem do conjunto como subconjunto do plano w, incluímos ambas as bordas horizontais; portanto a imagem é o retângulo fechado acima.

Passo 5

Exemplos concretos para fixar:
  • Se z=2e^{i\pi/2} então \log(z)=\ln 2 + i\frac{\pi}{2}, que está no retângulo com \operatorname{Re}=\ln 2 e \operatorname{Im}=\pi/2.
  • Se z=3 (real positivo, 2\le3\le4) pode-se tomar \theta=0 ou \theta=2\pi; com \theta=0 obtemos \log(3)=\ln 3 + i0 e com \theta=2\pi obtemos \ln 3 + i2\pi. Ambos pontos estão na imagem descrita.

Resposta

\{w\in\mathbb{C}\colon \ln 2 \le \operatorname{Re}w \le \ln 4,\; 0\le \operatorname{Im}w \le 2\pi\}

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