Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada.
S=(u, v) mid 0 <= u <= 1, u <= v <= 1;
x=u^2, y=v

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = (u,v)mid 0<= u<=1,;u<= v<=1
e a transformação
x = u^2, y = v
O que precisamos é descrever, em termos de x e y, todas as desigualdades que vinham de u e v.

Passo 2

Da condição 0<= u<=1 e da fórmula x = u^2, como u>=0, temos
0 ;<=; x ;=;u^2;<=;1

Passo 3

Da condição u<= v<=1, substituindo v=y e u=raizx (já que u>=0), obtemos
raizx;<=;y;<=;1

Passo 4

Juntando as duas faixas de desigualdades, a imagem da região S é
(x,y)mid 0<= x<=1,;raizx<= y<=1
Uma descrição equivalente, trocando a ordem de varredura, é
(x,y)mid 0<= y<=1,;0<= x<= y^2

Resposta

A imagem de S sob a transformação é
(x,y)mid 0<= x<=1,;raizx<= y<=1,
ou, equivalentemente,
(x,y)mid 0<= y<=1,;0<= x<= y^2

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