Propriedades-Sejam boldsymbola e boldsymbolb números reais, boldsymbolm e boldsymboln números inteiros, temos:
h) (a^m)^n=a^m times n

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade de potências para inteiros m e n:
l(a^mr)^n = a^m times n
O conteúdo aqui é a definição de potência como produto repetido e a extensão dessa definição para expoentes negativos e zero.

Passo 2

Considere primeiro m>0 e n>0. Por definição,
a^m = underbracea times a times cdots times am fatores
Então
l(a^mr)^n = underbracea^mtimes a^mtimes cdots times a^mn fatores
é um produto com m fatores de a, repetido n vezes, totalizando mtimes n fatores de a. Logo,
l(a^mr)^n = a^mtimes n

Passo 3

Agora trate n=0. Por definição de potência com expoente zero, quaisquer que sejam a e mneq0,
l(a^mr)^0 = 1 e a^mtimes 0 = a^0 = 1
Assim o caso n=0 satisfaz a igualdade.

Passo 4

Por fim, considere n<0. Escreva n=-k com k>0. Então
l(a^mr)^n = l(a^mr)^-k = 1l(a^mr)^k = 1a^mtimes k = a^-,mtimes k = a^mtimes(-k) = a^mtimes n
Esse raciocínio vale para qualquer minZ, pois se m for negativo usamos ,a^m=1/a^-m e o mesmo argumento.

Resposta

l(a^mr)^n = a^m times n

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