Determine a imagem do conjunto
pela transformação
em cada um dos casos abaixo.
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
ou seja, o disco unitário centrado na origem, e a transformação linear diagonal
onde
e
são constantes reais (podem ser positivas, negativas ou zero). A pergunta é: determinar a imagem
— isto é, o conjunto de todos os pontos
que aparecem como
para algum
dentro do disco unitário.
Passo 2
Estratégia quando
e
: escrevemos
e resolvemos para
e
em função de
e
. Se
então
logo, para
e
,
Como
satisfaz
, substituindo obtemos a condição sobre
:
Passo 3
Interpretação da desigualdade obtida: a desigualdade
define um elipse centrada na origem, cujos semi-eixos ao longo dos eixos coordenados têm comprimentos
e
. Observações importantes:
- O sinal de
ou não altera a imagem porque aparecem quadrados e ; uma reflexão (quando ou é negativo) não muda o conjunto imagem. - Portanto, quando
e , a imagem é o elipse (fechado) com equação . Exemplo concreto: se e então .
Passo 4
Caso degenerado
,
: aqui
para todo
. Precisamos encontrar todos os valores possíveis de
quando existe
tal que
. Para dado
existe algum
com essa desigualdade exatamente quando
. Portanto
percorre o intervalo
e
percorre o intervalo
. Concluímos:
ou seja, um segmento fechado sobre o eixo
de
a
.
Passo 5
Caso degenerado
,
: pelo mesmo raciocínio,
com
, então
varia em
. Assim
um segmento fechado sobre o eixo
.
Passo 6
Caso extremo
e
: então
para todo
, logo a imagem é o ponto
Passo 7
Resumo geométrico e intuição:
escala a coordenada
por
e a coordenada
por
. Aplicando isso ao disco unitário, obtém-se um elipse (quando ambos os fatores são não nulos) com semi-eixos
e
; se um dos fatores for zero, o disco é “achatado” num segmento ao longo do outro eixo; se ambos são zero, tudo vira o ponto origem.
Resposta
Se
e
:
.
Se
e
:
.
Se
e
:
.
Se
e
:
.