Determine a imagem do conjunto S pela transformação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} em cada um dos casos abaixo.
S=\left\{(u, v) ; u^{2}+v^{2} \leq 1\right\}, \quad T(u, v)=(a u, b v).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2 \mid u^{2}+v^{2}\le 1\},
ou seja, o disco unitário centrado na origem, e a transformação linear diagonal
T(u,v)=(a u,b v),
onde a e b são constantes reais (podem ser positivas, negativas ou zero). A pergunta é: determinar a imagem T(S)=\{T(u,v)\mid (u,v)\in S\} — isto é, o conjunto de todos os pontos (x,y) que aparecem como x=a u,\; y=b v para algum (u,v) dentro do disco unitário.

Passo 2

Estratégia quando a\neq 0 e b\neq 0: escrevemos (x,y)=T(u,v) e resolvemos para u e v em função de x e y. Se (x,y)=T(u,v) então
x=a u,\qquad y=b v,
logo, para a\neq 0 e b\neq 0,
u=\frac{x}{a},\qquad v=\frac{y}{b}.
Como (u,v)\in S satisfaz u^{2}+v^{2}\le 1, substituindo obtemos a condição sobre (x,y):
\left(\frac{x}{a}\right)^{2}+\left(\frac{y}{b}\right)^{2}\le 1.

Passo 3

Interpretação da desigualdade obtida: a desigualdade
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\le 1
define um elipse centrada na origem, cujos semi-eixos ao longo dos eixos coordenados têm comprimentos |a| e |b|. Observações importantes:
  • O sinal de a ou b não altera a imagem porque aparecem quadrados a^{2} e b^{2}; uma reflexão (quando a ou b é negativo) não muda o conjunto imagem.
  • Portanto, quando a\neq 0 e b\neq 0, a imagem T(S) é o elipse (fechado) com equação \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}\le 1. Exemplo concreto: se a=2 e b=3 então T(S)=\{(x,y): x^{2}/4+y^{2}/9\le 1\}.

Passo 4

Caso degenerado a=0, b\neq 0: aqui (x,y)=(0,bv) para todo (u,v)\in S. Precisamos encontrar todos os valores possíveis de y=bv quando existe u tal que u^{2}+v^{2}\le 1. Para dado v existe algum u com essa desigualdade exatamente quando |v|\le 1. Portanto v percorre o intervalo [-1,1] e y=bv percorre o intervalo [-|b|,|b|]. Concluímos:
T(S)=\{(0,y)\in\mathbb{R}^2 \mid |y|\le |b|\},
ou seja, um segmento fechado sobre o eixo y de -|b| a |b|.

Passo 5

Caso degenerado b=0, a\neq 0: pelo mesmo raciocínio, (x,y)=(au,0) com |u|\le 1, então x=au varia em [-|a|,|a|]. Assim
T(S)=\{(x,0)\in\mathbb{R}^2 \mid |x|\le |a|\},
um segmento fechado sobre o eixo x.

Passo 6

Caso extremo a=0 e b=0: então T(u,v)=(0,0) para todo (u,v), logo a imagem é o ponto
T(S)=\{(0,0)\}.

Passo 7

Resumo geométrico e intuição: T escala a coordenada u por a e a coordenada v por b. Aplicando isso ao disco unitário, obtém-se um elipse (quando ambos os fatores são não nulos) com semi-eixos |a| e |b|; se um dos fatores for zero, o disco é “achatado” num segmento ao longo do outro eixo; se ambos são zero, tudo vira o ponto origem.

Resposta

Se a\neq 0 e b\neq 0: \displaystyle T(S)=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\le 1\right\}.
Se a=0 e b\neq 0: \displaystyle T(S)=\{(0,y)\in\mathbb{R}^2 \mid |y|\le |b|\}.
Se a\neq 0 e b=0: \displaystyle T(S)=\{(x,0)\in\mathbb{R}^2 \mid |x|\le |a|\}.
Se a=0 e b=0: \displaystyle T(S)=\{(0,0)\}.

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