Decida se é melhor utilizar coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular a integral em cada um casos abaixo.
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a integral tripla
As informações relevantes que temos:
- Os limites em
descrevem todos os pontos tais que
ou seja, a região de integração é a bola de raio
centrada na origem.
- O integrando é
.
O que o enunciado pede tacitamente: decidir qual sistema de coordenadas (cilíndricas ou esféricas) é mais adequado para calcular a integral e calcular o valor da integral.
Passo 2
Entender a região e simplificar o integrando algebraicamente (passo importante antes de mudar de coordenadas).
- Como já escrevi, a região é a bola
. - Vamos simplificar o integrando:
Aqui é útil introduzir a notação
para a distância ao centro:
. Assim o integrando fica simplesmente
Essa observação já nos dá pista: o integrando é o produto de
por uma função radial
.
Passo 3
Escolha do sistema de coordenadas. Ponderação e decisão (seguindo a regra de escolher métodos mais básicos quando possível).
- A região é uma bola (simetria esférica), então coordenadas esféricas são muito naturais.
- Porém, a integranda é
multiplicado por uma função radial ( ). Em coordenadas cilíndricas também aparece naturalmente e a dependência em fica explícita; além disso, o argumento de simetria em (paridade) é fácil de ver em coordenadas cilíndricas. - Entre cilíndricas e esféricas, as coordenadas cilíndricas são mais básicas (ensinam-se antes) e permitem usar diretamente a simetria par/ímpar em
com menos notação. Pelo critério dado (usar método mais básico quando possível), escolho coordenadas cilíndricas para resolver explicitamente. Vou também comentar rapidamente como seria em esféricas para confirmação.
Passo 4
Lembrete rápido sobre coordenadas cilíndricas e o jacobiano (aula curtinha para você não se perder na prova).
- Em coordenadas cilíndricas usamos
com as relações
onde
,
,
.
- O elemento de volume (jacobiano) é
. Isso significa que ao trocar a integral de para precisamos multiplicar o integrando por . - No nosso integrando já temos
, o que simplifica as expressões.
Passo 5
Escrever a integral em coordenadas cilíndricas e explorar a simetria para simplificar muito a conta.
- Em cilindricas, a região bola é descrita por
- O integrando
vira (usando )
- Multiplicando pelo jacobiano
obtemos a função a integrar em :
- Note o ponto chave: para cada
e fixos, a expressão é uma função ímpar de (porque é vezes uma função par de ). Ou seja, para cada ,
- Como os limites de
para a bola são simétricos, a , a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero:
- Portanto, integrando primeiro em
(ou apenas usando a propriedade de paridade), a integral tripla inteira vale zero. Não há necessidade de calcular integrais complicadas: a simetria mata tudo.
Passo 6
Comentário de confirmação via coordenadas esféricas (rápido, só para consolidar a intuição).
- Em coordenadas esféricas usuais usamos
com , , , jacobiano . - O integrando
torna-se . Multiplicando pelo jacobiano dá . - A integral em
de sobre a é zero (é uma função ímpar em relação a ), levando também ao resultado zero. Assim esféricas confirmam o que cilindricas mostraram, mas cilindricas foram suficientes e mais básicas.
Passo 7
Conclusão final e incentivo.
- Concluímos que a escolha por coordenadas cilíndricas foi apropriada seguindo o critério de usar métodos mais básicos e pela facilidade de ver a simetria ímpar em
. Coordenadas esféricas também são naturais e dão o mesmo resultado. - Boa notícia: a integral é zero — um resultado simples graças à simetria. Continua firme nos estudos, você está indo bem; reconhecer simetrias salva tempo na prova!