Decida se é melhor utilizar coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular a integral em cada um casos abaixo.
\int_{-a}^{a} \int_{-\sqrt{a^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-y^{2}}} \int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}} x^{2} z+y^{2} z+z^{3} d z d x d y.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a integral tripla
\int_{-a}^{a} \int_{-\sqrt{a^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-y^{2}}} \int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}} \bigl(x^{2} z+y^{2} z+z^{3}\bigr)\,dz\,dx\,dy.
As informações relevantes que temos:
  • Os limites em x,y,z descrevem todos os pontos (x,y,z) tais que
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2},
ou seja, a região de integração é a bola de raio a centrada na origem.
  • O integrando é x^{2} z+y^{2} z+z^{3}.
    O que o enunciado pede tacitamente: decidir qual sistema de coordenadas (cilíndricas ou esféricas) é mais adequado para calcular a integral e calcular o valor da integral.

Passo 2

Entender a região e simplificar o integrando algebraicamente (passo importante antes de mudar de coordenadas).
  • Como já escrevi, a região é a bola \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2}\}.
  • Vamos simplificar o integrando:
x^{2} z+y^{2} z+z^{3}=z\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).
Aqui é útil introduzir a notação r para a distância ao centro: r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Assim o integrando fica simplesmente
z\,r^{2}.
Essa observação já nos dá pista: o integrando é o produto de z por uma função radial r^{2}.

Passo 3

Escolha do sistema de coordenadas. Ponderação e decisão (seguindo a regra de escolher métodos mais básicos quando possível).
  • A região é uma bola (simetria esférica), então coordenadas esféricas são muito naturais.
  • Porém, a integranda é z multiplicado por uma função radial ( r^{2}). Em coordenadas cilíndricas também aparece naturalmente x^{2}+y^{2}=\rho^{2} e a dependência em z fica explícita; além disso, o argumento de simetria em z (paridade) é fácil de ver em coordenadas cilíndricas.
  • Entre cilíndricas e esféricas, as coordenadas cilíndricas são mais básicas (ensinam-se antes) e permitem usar diretamente a simetria par/ímpar em z com menos notação. Pelo critério dado (usar método mais básico quando possível), escolho coordenadas cilíndricas para resolver explicitamente. Vou também comentar rapidamente como seria em esféricas para confirmação.

Passo 4

Lembrete rápido sobre coordenadas cilíndricas e o jacobiano (aula curtinha para você não se perder na prova).
  • Em coordenadas cilíndricas usamos \rho,\theta,z com as relações
x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta,\qquad z=z,
onde \rho\ge0, \theta\in[0,2\pi), z\in\mathbb{R}.
  • O elemento de volume (jacobiano) é \rho\,d\rho\,d\theta\,dz. Isso significa que ao trocar a integral de dx\,dy\,dz para \rho\,d\rho\,d\theta\,dz precisamos multiplicar o integrando por \rho.
  • No nosso integrando já temos x^{2}+y^{2}=\rho^{2}, o que simplifica as expressões.

Passo 5

Escrever a integral em coordenadas cilíndricas e explorar a simetria para simplificar muito a conta.
  • Em cilindricas, a região bola é descrita por
0\le \rho\le \sqrt{a^{2}-z^{2}},\qquad -a\le z\le a,\qquad 0\le\theta\le 2\pi.
  • O integrando x^{2} z+y^{2} z+z^{3} vira (usando x^{2}+y^{2}=\rho^{2})
\rho^{2} z + z^{3} = z\bigl(\rho^{2}+z^{2}\bigr).
  • Multiplicando pelo jacobiano \rho obtemos a função a integrar em \rho,\theta,z:
z\bigl(\rho^{2}+z^{2}\bigr)\rho = z\bigl(\rho^{3}+\rho z^{2}\bigr).
  • Note o ponto chave: para cada \rho e \theta fixos, a expressão z\bigl(\rho^{3}+\rho z^{2}\bigr) é uma função ímpar de z (porque é z vezes uma função par de z). Ou seja, para cada \rho,\theta,
f(z):=z\bigl(\rho^{3}+\rho z^{2}\bigr) \quad\text{satisfaz}\quad f(-z)=-f(z).
  • Como os limites de z para a bola são simétricos, -\sqrt{a^{2}-\rho^{2}} a +\sqrt{a^{2}-\rho^{2}}, a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero:
\int_{-\sqrt{a^{2}-\rho^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-\rho^{2}}} z\bigl(\rho^{3}+\rho z^{2}\bigr)\,dz = 0\quad\text{para todo }\rho.
  • Portanto, integrando primeiro em z (ou apenas usando a propriedade de paridade), a integral tripla inteira vale zero. Não há necessidade de calcular integrais complicadas: a simetria mata tudo.

Passo 6

Comentário de confirmação via coordenadas esféricas (rápido, só para consolidar a intuição).
  • Em coordenadas esféricas usuais usamos r,\theta,\varphi com x=r\sin\varphi\cos\theta, y=r\sin\varphi\sin\theta, z=r\cos\varphi, jacobiano r^{2}\sin\varphi.
  • O integrando z\,r^{2} torna-se r\cos\varphi\cdot r^{2}=r^{3}\cos\varphi. Multiplicando pelo jacobiano dá r^{5}\cos\varphi\sin\varphi.
  • A integral em \varphi de \cos\varphi\sin\varphi sobre 0 a \pi é zero (é uma função ímpar em relação a \varphi=\pi/2), levando também ao resultado zero. Assim esféricas confirmam o que cilindricas mostraram, mas cilindricas foram suficientes e mais básicas.

Passo 7

Conclusão final e incentivo.
  • Concluímos que a escolha por coordenadas cilíndricas foi apropriada seguindo o critério de usar métodos mais básicos e pela facilidade de ver a simetria ímpar em z. Coordenadas esféricas também são naturais e dão o mesmo resultado.
  • Boa notícia: a integral é zero — um resultado simples graças à simetria. Continua firme nos estudos, você está indo bem; reconhecer simetrias salva tempo na prova!

Resposta

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